Przestrzeń Baire’a

(Przekierowano z Przestrzeń Baire'a)

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Własność przestrzeni topologicznychEdytuj

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że   jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów   jest gęstym podzbiorem  

Niektórzy autorzy używają zwrotu   ma własność Baire’a (zamiast „  jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

PrzykładyEdytuj

  • Prosta rzeczywista   i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych   jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią Baire’a.
  • Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
  • Przestrzeń   z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolnego jej podzbioru domkniętego brzegowego   zbiór   jest domknięty brzegowy w   która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest   która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

WłasnościEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

  •   jest przestrzenią Baire’a,
  • żaden otwarty niepusty podzbiór   nie jest pierwszej kategorii,
  • wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
  • dla każdych domkniętych zbiorów   jeśli   to   dla pewnego  

Szczególna przestrzeń topologicznaEdytuj

DefinicjaEdytuj

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech   będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z   w   Zbiór ten może być traktowany jako produkt   przeliczalnie wielu kopii zbioru   Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze   możemy wprowadzić topologię produktową   Przestrzeń topologiczna   jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez   (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez  ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez   To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanieEdytuj

  • Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych   kładziemy   Definiujemy
  jeśli   oraz   w przeciwnym wypadku.
Łatwo można sprawdzić że   jest metryką zupełną na zbiorze   generującą topologię  
  •   jest homeomorficzne z   I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni   jest homeomorficzny z  
  • Przestrzeń   jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni  ).
  • Przestrzeń   jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
  • W dodatku do struktury topologicznej,   ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację   na   przez
  wtedy i tylko wtedy gdy  
Wówczas   jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej   Np. liczba dominująca   występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów   potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz teżEdytuj