Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem,   zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór  [1], gdzie   jest elementem zbioru   przyporządkowanym elementowi  

Punkty skupienia i granicaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Punkt   nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego   jeśli

 

gdzie   oznacza otoczenie punktu  

Punkt   nazywamy granicą ciągu uogólnionego   jeśli

 

gdzie   tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu  

Mówimy wtedy również, że   jest zbieżny do  

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu   oznaczamy   albo  

Subtelniejsze ciągi uogólnioneEdytuj

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony   nazywamy subtelniejszym od ciągu   jeśli istnieje funkcja   spełniająca warunki:

  1.  
  2.  

WłasnościEdytuj

  • Jeśli punkt   jest punktem skupienia ciągu uogólnionego   subtelniejszego od   to   jest punktem skupienia  
  • Jeśli punkt   jest granicą ciągu uogólnionego   to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego  
  • Jeśli punkt   jest punktem skupienia ciągu uogólnionego   to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego   subteleniejszego od  

PrzypisyEdytuj

  1. Czasem piszemy także  

BibliografiaEdytuj