Twierdzenie o ideale pierwszym
Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.
Twierdzenie
edytujTwierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:
- Niech będzie kratą rozdzielną. Jeśli jest filtrem i to istnieje ideał pierwszy rozłączny z i zawierający
Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.
Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco:
- W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.
Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:
- W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
- W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).
Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna)
edytujNiech będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej
Jak łatwo sprawdzić, domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny Jest on ideałem rozłącznym z zawierającym Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych zachodzi Niech teraz będą minimalnymi ideałami zawierającymi i odpowiednio. Wówczas, skąd Niech zatem będą takie, że i Istnieją wówczas takie że i Wówczas jednak skąd
co oznacza, iż przecząc wyborowi Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.
Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)
edytujDla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.
Niech zatem będzie kratą nieskończoną i niech będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem jako zbiorem zmiennych zdaniowych.
Rozważmy następujący zbiór formuł zdaniowych w tym języku:
gdzie
Niech teraz będzie skończonym podzbiorem zbioru Możemy założyć, że Niech dalej będzie zbiorem tych elementów zbioru dla których występuje w Wówczas podkrata wyznaczona przez zbiór będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej będzie filtrem wyznaczonym przez w kracie Istnieje więc ideał pierwszy kraty który jest rozłączny z i zawiera Niech teraz Nietrudno wykazać, że spełnia wszystkie formuły ze zbioru Wobec dowolności zbioru oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru jest spełnialny. Niech zatem spełnia wszystkie formuły zbioru Wówczas jest szukanym ideałem pierwszym kraty
Uwagi i wnioski
edytujDowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkla BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.
Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:
- twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a
- twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa (równoważne z BPI w klasie zwartych przestrzeni Hausdorffa)
- aksjomat wyboru dla rodzin zbiorów skończonych
- twierdzenie Arzeli-Ascolego (równoważne z BPI)[1]
- twierdzenie Hahna-Banacha, a to pociąga
- istnienie niemierzalnego w sensie Lebesgue’a podzbioru prostej[2]
- paradoks Banacha-Tarskiego[3]
- twierdzenie o zwartości dla klasycznego rachunku zdań (równoważne z BPI)
- istnienie ultrafiltru w kracie wszystkich zbiorów otwartych niepustej przestrzeni topologicznej[4] (równoważne z BPI).
Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”[5].
Przypisy
edytuj- ↑ Horst Herlich. The Ascoli theorem is equivalent to the Boolean prime ideal theorem. „Rostock. Math. Kolloq.”. 51, s. 137–140, 1997.
- ↑ Matthew Foreman, Friedrich Wehrung. The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set. „Fundamenta Mathematicae”. 128 (1), s. 13–19, 1991.
- ↑ Janusz Pawlikowski. The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae”. 138, s. 21–22, 1991.
- ↑ Y.T. Rhineghost. The boolean prime ideal theorem holds iff maximal open filters exist. „Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques”. 43 (4), s. 313–315, 1992.
- ↑ John Bell, David Fremlin. A geometric form of the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”. 77, s. 167–170, 1972.
Bibliografia
edytuj- Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.