Otwórz menu główne

TwierdzenieEdytuj

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech   będzie kratą rozdzielną. Jeśli   jest filtrem i   to istnieje ideał pierwszy   rozłączny z   i zawierający  
 
Diagram Hassego kraty M3, w której żaden ideał nie jest pierwszy

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie   potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.

Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

  • W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
  • W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).

Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna)Edytuj

Niech   będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

 

Jak łatwo sprawdzić,   domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny   Jest on ideałem rozłącznym z   zawierającym   Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych   zachodzi   Niech teraz   będą minimalnymi ideałami zawierającymi   i   odpowiednio. Wówczas,   skąd   Niech zatem   będą takie, że   i   Istnieją wówczas takie   że   i   Wówczas jednak   skąd

 

co oznacza, iż   przecząc wyborowi   Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)Edytuj

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem   będzie kratą nieskończoną i niech   będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem   jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór   formuł zdaniowych w tym języku:

 
 
 
 
 

gdzie  

Niech teraz   będzie skończonym podzbiorem zbioru   Możemy założyć, że   Niech dalej   będzie zbiorem tych elementów   zbioru   dla których   występuje w   Wówczas podkrata   wyznaczona przez zbiór   będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej   będzie filtrem wyznaczonym przez   w kracie     Istnieje więc ideał pierwszy   kraty   który jest rozłączny z   i zawiera   Niech teraz   Nietrudno wykazać, że   spełnia wszystkie formuły ze zbioru   Wobec dowolności zbioru   oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru   jest spełnialny. Niech zatem   spełnia wszystkie formuły zbioru   Wówczas   jest szukanym ideałem pierwszym kraty  

Uwagi i wnioskiEdytuj

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkla BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”[5].

PrzypisyEdytuj

  1. Horst Herlich. The Ascoli theorem is equivalent to the Boolean prime ideal theorem. „Rostock. Math. Kolloq.”. 51, s. 137–140, 1997. 
  2. Matthew Foreman, Friedrich Wehrung. The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set. „Fundamenta Mathematicae”. 128 (1), s. 13–19, 1991. 
  3. Janusz Pawlikowski. The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae”. 138, s. 21–22, 1991. 
  4. Y.T. Rhineghost. The boolean prime ideal theorem holds iff maximal open filters exist. „Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques”. 43 (4), s. 313–315, 1992. 
  5. John Bell, David Fremlin. A geometric form of the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”. 77, s. 167–170, 1972. 

BibliografiaEdytuj

  • Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.