Twierdzenie o ideale pierwszym

Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.

Twierdzenie

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech ${\mathcal {K}}=(K,+,\cdot )$ będzie kratą rozdzielną. Jeśli $F\subseteq K$ jest filtrem i $a\in K\setminus F,$ to istnieje ideał pierwszy $C$ rozłączny z $F$ i zawierający $a.$

Diagram Hassego kraty M₃, w której żaden ideał nie jest pierwszy

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie $M_{3},$ potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.

Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

• W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
• W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).

Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna)

Niech ${\mathcal {K}},F{\mbox{ i }}a$ będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

${\mathcal {F}}=\{C\subseteq K:\,a\in C,\;C\cap F=\varnothing ,\;C{\mbox{ – ideał}}\,\}$

Jak łatwo sprawdzić, ${\mathcal {F}}$ domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny $C.$ Jest on ideałem rozłącznym z $F$ zawierającym $a.$ Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych $c,d\in K$ zachodzi $c\cdot d\in C,\;c,d\not \in C.$ Niech teraz $C_{c}{\mbox{ i }}C_{d}$ będą minimalnymi ideałami zawierającymi $C\cup \{c\}$ i $C\cup \{d\},$ odpowiednio. Wówczas, $C_{c},\;C_{d}\,\not \in {\mathcal {F}},$ skąd $F\cap C_{c},\,F\cap C_{d}\neq \varnothing .$ Niech zatem $f_{c},f_{d}\in F$ będą takie, że $f_{c}\in F\cap C_{c}$ i $f_{d}\in F\cap C_{d}.$ Istnieją wówczas takie $x_{c},x_{d}\in C,$ że $f_{c}\leqslant x_{c}+c$ i $f_{d}\leqslant x_{d}+d.$ Wówczas jednak $f=f_{c}\cdot f_{d}\leqslant x_{c}+c,\,x_{d}+d\leqslant (x_{c}+x_{d})+c,\,(x_{c}+x_{d})+d,$ skąd

$f\leqslant [(x_{c}+x_{d})+c]\cdot [(x_{c}+x_{d})+d]=[(x_{c}+x_{d})+c\cdot d]\in C,$

co oznacza, iż $f\in C\cap F$ przecząc wyborowi $C.$ Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem ${\mathcal {K}}$ będzie kratą nieskończoną i niech ${\mathcal {L}}_{\mathcal {K}}$ będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem $\{\mathbf {p} _{x}\colon x\in K\}$ jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór $X$ formuł zdaniowych w tym języku:

$\mathbf {C} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y},\,x\geqslant y$

$\mathbf {CK} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y}\mathbf {p} _{x+y}$

$\mathbf {C} \mathbf {p} _{x\cdot y}\mathbf {A} \mathbf {p} _{x}\mathbf {p} _{y}$

$\mathbf {N} \mathbf {p} _{x},\,x\in F$

$\mathbf {p} _{a}$

gdzie $x,y\in K.$

Niech teraz $X_{0}$ będzie skończonym podzbiorem zbioru $X.$ Możemy założyć, że $\mathbf {p} _{a}\in X_{0}.$ Niech dalej $K_{0}$ będzie zbiorem tych elementów $x$ zbioru $K,$ dla których $\mathbf {p} _{x}$ występuje w $X_{0}.$ Wówczas podkrata ${\mathcal {K}}_{0}$ wyznaczona przez zbiór $K_{0},$ będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej $F_{0}$ będzie filtrem wyznaczonym przez $F\cap K_{0}$ w kracie ${\mathcal {K}}_{0}.$ $a\not \in F_{0}.$ Istnieje więc ideał pierwszy $C_{0}$ kraty ${\mathcal {K}}_{0},$ który jest rozłączny z $F_{0}$ i zawiera $a.$ Niech teraz $v_{0}(\mathbf {p} _{x})=1\;\Leftrightarrow \;x\in C_{0}.$ Nietrudno wykazać, że $v_{0}$ spełnia wszystkie formuły ze zbioru $X_{0}.$ Wobec dowolności zbioru $X_{0},$ oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru $X$ jest spełnialny. Niech zatem $v$ spełnia wszystkie formuły zbioru $X.$ Wówczas $C=\{a\colon v(\mathbf {p} _{a})=1\,\}$ jest szukanym ideałem pierwszym kraty ${\mathcal {K}}.$

Uwagi i wnioski

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkla BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

• twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a
• twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa (równoważne z BPI w klasie zwartych przestrzeni Hausdorffa)
• aksjomat wyboru dla rodzin zbiorów skończonych
• twierdzenie Arzeli-Ascolego (równoważne z BPI)
• twierdzenie Hahna-Banacha, a to pociąga
  • istnienie niemierzalnego w sensie Lebesgue’a podzbioru prostej
  • paradoks Banacha-Tarskiego
• twierdzenie o zwartości dla klasycznego rachunku zdań (równoważne z BPI)
• istnienie ultrafiltru w kracie wszystkich zbiorów otwartych niepustej przestrzeni topologicznej (równoważne z BPI).

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”.

Bibliografia

• Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.