Twierdzenie Krejna-Milmana

Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla^[1]:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności $X$ może być przestrzenią unormowaną^[a]. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej

X^{*}

do rzeczywistej przestrzeni unormowanej

X

ma punkt ekstremalny.

Dowód

Zobacz też: hiperpłaszczyzna podpierająca.

Zbiór $S$ nazywa się zbiorem podpierającym zbioru $C\subseteq X,$ jeżeli $S$ jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym $C,$ dla którego należenie do $S$ pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w $C$ pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora $x^{*}\in X^{*}$ hiperpłaszczyzna

H=H(x^{*})=\left\{x\in X\colon \langle x^{*},x\rangle =\max _{x\in C}~\langle x^{*},x\rangle \right\}

jest podpierająca. Niech ${\mathcal {S}}$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w $H$ uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny ${\mathcal {M}}$ w tej rodzinie. Przecięcie ${\hat {\mathcal {S}}}$ wszystkich zbiorów podpierających z ${\mathcal {M}}$ należy do ${\mathcal {M}}$ (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż ${\hat {\mathcal {S}}}$ jest jednopunktowy. Otóż jeśli ${\hat {\mathcal {S}}}$ zawiera dwa elementy $\xi$ oraz $\eta ,$ to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału ${\hat {x}}^{*}$ (tzn. wybrać taki ${\hat {x}}^{*},$ dla którego $\langle {\hat {x}}^{*},\xi \rangle <\langle {\hat {x}}^{*},\eta \rangle$ ), a następnie położyć ${\tilde {\mathcal {S}}}:={\hat {\mathcal {S}}}\cup \Gamma ,$ gdzie

\Gamma =\left\{x\in X\colon \langle {\hat {x}}^{*},x\rangle =\sup _{x\in {\hat {\mathcal {S}}}\cup C}\langle {\hat {x}}^{*},x\rangle \right\}.

Ponieważ ${\tilde {\mathcal {S}}}$ jest zbiorem domkniętym mającym infimum z $C,$ a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności ${\hat {\mathcal {S}}}.$

Jeśli $\mathrm {extr} \;C$ oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru $C,$ to domknięcie $\mathrm {cl} \;C$ zbioru $C$ jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt $C\setminus \mathrm {cl} \;C$ od zbioru $\mathrm {cl} \;C$ za pomocą funkcjonału ${\overline {x}}^{*}$ i rozważając płaszczyznę podpierającą $H({\overline {x}}^{*})$ znaleźć punkt ekstremalny zbioru $C$ nie należący do $\mathrm {cl} \;C$ na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.