Twierdzenie Krejna-Milmana

Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla[1]:

Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)
Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności może być przestrzenią unormowaną[a]. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do rzeczywistej przestrzeni unormowanej ma punkt ekstremalny.


DowódEdytuj

Zbiór   nazywa się zbiorem podpierającym zbioru   jeżeli   jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym   dla którego należenie do   pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w   pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora   hiperpłaszczyzna

 

jest podpierająca. Niech   oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w   uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny   w tej rodzinie. Przecięcie   wszystkich zbiorów podpierających z   należy do   (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż   jest jednopunktowy. Otóż jeśli   zawiera dwa elementy   oraz   to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału   (tzn. wybrać taki   dla którego  ), a następnie położyć   gdzie

 

Ponieważ   jest zbiorem domkniętym mającym infimum z   a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności  

Jeśli   oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru   to domknięcie   zbioru   jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt   od zbioru   za pomocą funkcjonału   i rozważając płaszczyznę podpierającą   znaleźć punkt ekstremalny zbioru   nie należący do   na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Przestrzeń sprzężona   do przestrzeni liniowo-topologicznej   wyposażona w *-słabą topologię jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo topologiczną.

PrzypisyEdytuj

  1. John Bell, David Fremlin: A geometric form of the axiom of choice. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 77, 1973, s. 167–170. [1].