Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone’a[1]. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzieEdytuj

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech   będzie algebrą Boole’a.

DefinicjeEdytuj

  • Powiemy, że zbiór   jest filtrem na algebrze   gdy następujące warunki są spełnione:
(a)  
(b) jeśli   oraz   (czyli  ), to też  
(c) jeśli   to również  
  • Filtr   na algebrze   jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym   jest filtr   (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze   są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze   jest oznaczany przez  
  • Dla   definiuje się  

ObserwacjeEdytuj

  • Niech   będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i)   jest ultrafiltrem,
(ii) dla każdego elementu   albo   lub  
(iii) dla każdych   jeśli   to   lub  
  • Każdy filtr   jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
  • Dla dowolnych   mamy, że
    oraz  
  • Rodzina   jest bazą pewnej topologii   na   Przestrzeń topologiczna   jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry  ).
  • Odwzorowanie   jest izomorfizmem pomiędzy algebrą   a ciałem   otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

DualnośćEdytuj

W istocie, twierdzenie Stone’a może być wypowiedziane nieco ogólniejszej formie która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zero-wymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone’a o dualnościEdytuj

Dla każdej algebry Boole’a   istnieje izomorfizm

 

przy czym

  • dla każdej algebry Boole’a  
  • dla każdego homomorfizmu  

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

 

że

 

Ponadto

  • jeżeli   jest różnowartościowa, to   jest epimorfizmem,
  • jeżeli   jest „na”, to   jest monomorfizmem,
  • jeżeli   jest algebrą Boole’a oraz   jest homomorfizmem, to
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj