Ten artykuł należy dopracować: warto przedstawić niżej dokładną treść twierdzenia. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Definicja
Φ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
Niech
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
algebrą Heytinga z uniwersum
H
.
{\displaystyle H.}
wzbogaceniem krat rozdzielnych , a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie
Φ
:
H
→
℘
(
S
H
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}\colon H\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}{\big )}}
Φ
(
a
)
:=
{
F
∈
S
H
:
a
∈
F
}
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}:\,a\in F\}}
jest izomorfizmem krat.
W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ
Φ
(
⊥
)
=
∅
,
Φ
(
⊤
)
=
S
H
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\varnothing ,\,{\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}
Niech teraz
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
najmniejszą topologią na
S
H
,
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}},}
Φ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
Φ
(
H
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(H)}
bazą tej przestrzeni.
Topologię tę nazywamy topologią Stone’a . Przestrzeń
⟨
S
H
,
T
⟩
{\displaystyle \langle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}},{\mathcal {T}}\rangle }
przestrzenią Stone’a algebry
H
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}.}
Φ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
homomorfizmem algebr Heytinga
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
algebry topologicznej
H
T
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathcal {T}}.}
Należy jeszcze pokazać, że
Φ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
C
H
,
{\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathcal {H}},}
Φ
(
a
→
b
)
=
Φ
(
a
)
⇒
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Skoro
Φ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
Φ
(
a
)
∩
Φ
(
a
→
b
)
=
Φ
(
a
⊓
(
a
→
b
)
)
⩽
Φ
(
b
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}{\big (}a\sqcap (a\to b){\big )}\leqslant {\boldsymbol {\Phi }}(b),}
Φ
(
a
→
b
)
⊆
Φ
(
a
)
⇒
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech
x
∈
Φ
(
a
)
⇒
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle x\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Φ
`
`
|
H
|
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|}
c
∈
|
H
|
,
{\displaystyle c\in |{\mathcal {H}}|,}
x
∈
Φ
(
c
)
⊆
Φ
(
a
)
⇒
Φ
(
b
)
⊆
∖
Φ
(
a
)
∪
Φ
(
b
)
,
{\displaystyle x\in {\boldsymbol {\Phi }}(c)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b)\subseteq \smallsetminus {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),}
Φ
(
c
)
∩
Φ
(
a
)
⊆
Φ
(
b
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(c)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b),}
Φ
(
c
⊓
a
)
⊆
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(c\sqcap a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Ponieważ
Φ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}
c
⊓
a
⩽
b
,
{\displaystyle c\sqcap a\leqslant b,}
c
⩽
a
→
b
,
{\displaystyle c\leqslant a\to b,}
x
∈
Φ
(
c
)
⊆
Φ
(
a
→
b
)
,
{\displaystyle x\in {\boldsymbol {\Phi }}(c)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b),}
Wymiar i topologia przestrzeni Stone’a Załóżmy teraz, że
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
wzbogaceniem algebry Boole’a .
Wówczas:
Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
Jeśli
a
∉
F
,
{\displaystyle a\not \in F,}
¬
a
∈
F
,
{\displaystyle \neg a\in F,}
F
∈
S
H
.
{\displaystyle F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}
Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone’a jest zerowymiarowa , bo jej baza
Φ
(
H
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(H),}
∖
Φ
(
a
)
=
Φ
(
¬
a
)
,
a
∈
H
,
.
{\displaystyle \smallsetminus {\boldsymbol {\Phi }}(a)={\boldsymbol {\Phi }}(\neg a),\;a\in H,.}
Jeśli teraz
F
,
G
∈
S
H
{\displaystyle F,G\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}}
f
∈
F
∖
G
{\displaystyle f\in F\setminus G}
g
∈
G
∖
F
.
{\displaystyle g\in G\setminus F.}
¬
f
∈
G
{\displaystyle \neg f\in G}
¬
g
∈
F
,
{\displaystyle \neg g\in F,}
f
⊓
¬
g
∈
F
{\displaystyle f\sqcap \neg g\in F}
g
⊓
¬
f
∈
G
.
{\displaystyle g\sqcap \neg f\in G.}
F
∈
Φ
(
f
⊓
¬
g
)
{\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(f\sqcap \neg g)}
G
∈
Φ
(
g
⊓
¬
f
)
,
{\displaystyle G\in {\boldsymbol {\Phi }}(g\sqcap \neg f),}
Φ
(
f
⊓
¬
g
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(f\sqcap \neg g)}
Φ
(
g
⊓
¬
f
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(g\sqcap \neg f)}
Zwartość przestrzeni Stone’a Załóżmy teraz, że
(
⋆
)
S
H
=
⋃
j
∈
J
Φ
(
a
j
)
{\displaystyle (\star )\;{\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\boldsymbol {\Phi }}(a_{j})}
{
a
j
:
j
∈
J
}
{\displaystyle \{a_{j}\colon j\in J\}}
H
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}.}
F
⊆
|
H
|
,
{\displaystyle F\subseteq |{\mathcal {H}}|,}
χ
F
:
|
H
|
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \chi _{F}\colon |{\mathcal {H}}|\to \{0,1\}}
charakterystyczną zbioru
F
.
{\displaystyle F.}
F
∈
S
H
⇔
χ
F
∈
h
o
m
(
H
,
B
2
)
,
{\displaystyle F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2}),}
B
2
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}
F
∈
Φ
(
a
)
⇔
a
∈
F
∈
S
H
⇔
(
χ
F
(
a
)
=
1
)
∧
(
F
∈
S
H
)
⇔
χ
F
∈
h
o
m
(
H
,
B
2
)
∩
π
a
−
1
`
`
{
1
}
,
a
∈
|
H
|
,
{\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\;\Leftrightarrow \;a\in F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;(\chi _{F}(a)=1)\wedge (F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}})\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,{\grave {}}\,{\grave {}}\{1\},\;a\in |{\mathcal {H}}|,}
gdzie
π
a
:
|
H
|
{
0
,
1
}
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \pi _{a}\colon {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}\to \{0,1\}}
a
{\displaystyle a}
(
a
∈
|
H
|
)
{\displaystyle (a\in |{\mathcal {H}}|)}
|
H
|
{
0
,
1
}
{\displaystyle {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}}
{
0
,
1
}
.
{\displaystyle \{0,1\}.}
(
⋆
)
{\displaystyle (\star )}
h
o
m
(
H
,
B
2
)
=
⋃
j
∈
J
[
h
o
m
(
H
,
B
2
)
∩
π
a
j
−
1
(
{
1
}
]
.
{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\}_{\big ]}.}
Ponieważ produkt
|
H
|
{
0
,
1
}
{\displaystyle {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}}
h
o
m
(
H
,
B
2
)
{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})}
|
H
|
{
0
,
1
}
,
{\displaystyle {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\},}
h
o
m
(
H
,
B
2
)
∩
π
a
j
−
1
(
{
1
}
)
{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\})}
h
o
m
(
H
,
B
2
)
,
{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2}),}
J
0
⊆
J
,
{\displaystyle J_{0}\subseteq J,}
h
o
m
(
H
,
B
2
)
=
⋃
j
∈
J
0
[
h
o
m
(
H
,
B
2
)
∩
π
a
−
1
(
{
1
}
)
]
,
{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,(\{1\}){\big ]},}
S
H
=
⋃
j
∈
J
0
Φ
(
a
j
)
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\boldsymbol {\Phi }}(a_{j}).}
Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone’a algebry Boole’a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.
Wniosek
Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa. Uwaga
Zgodność odwzorowania Stone’a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków:
Φ
(
⊥
)
=
∅
i
Φ
(
⊤
)
=
S
H
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\emptyset \quad {\mbox{i}}\quad {\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}
![{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\}_{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f0de13ea826d9529ae5d45546ebf8068b072fb)
![{\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,(\{1\}){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafb31cac93c333c82221a05a18f25d584824e3b)
