Przestrzeń Stone’a

Przestrzeń Stone’aprzestrzeń topologiczna w rodzinie filtrów pierwszych danej kraty rozdzielnej (lub, co na jedno wychodzi, rodzinie ultrafiltrów w przypadku, gdy krata ta jest reduktem algebry Boole’a), która „koduje” informacje o wspomnianej kracie (algebrze Boole’a). W przypadku algebr Boole’a odpowiadające im przestrzenie Stone’a są zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa i często właśnie z tego względu przestrzenie topologiczne o tych trzech własnościach nazywane są również przestrzeniami Stone’a. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między kratami rozdzielnymi/algebrami Boole’a a przestrzeniami Stone’a (zob. twierdzenie Birkhoffa-Stone’a / twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a), która jest szczególnym przypadkiem tzw. dualizmu Stone’a.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie kratą rozdzielną i niech   będzie rodziną wszystkich filtrów pierwszych w  . Odwzorowanie   dane wzorem

 

nazywa się odwzorowaniem Stone’a.

Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych mówi, że odwzorowanie to jest monomorfizmem kraty  kratę mnogościową na zbiorze  .

Rodzina   jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na  . Właśnie tę przestrzeń nazywa się przestrzenią Stone’a. Odwzorowanie Stone’a przyjmuje jako wartości zbiory otwarte tej przestrzeni.

UwagiEdytuj

Istnieje szereg twierdzeń reprezentacyjnych dla różnych pokrewnych struktur, których idea nawiązuje do konstrukcji przestrzeni Stone’a w przypadku algebr Heytinga jest to twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga. Odpowiednikiem przestrzeni Stone’a dla monadycznych algebr Boole’a jest tzw. m-przestrzeń.