Twierdzenie Sikorskiego

Twierdzenie Sikorskiego – twierdzenie teorii algebr Boole’a mówiące, każdy homomorfizm z podalgebry danej algebry Boole’a o wartościach w algebrze zupełnej można przedłużyć do homomorfizmu na całej algebrze. Innymi słowy:

Niech $\mathbb {B}$ będzie algebrą Boole’a oraz $\mathbb {A} \subseteq \mathbb {B}$ jej podalgebrą. Jeżeli $\mathbb {C}$ jest algebrą zupełną to dla każdego homomorfizmu $h\colon \mathbb {A} \to \mathbb {C}$ istnieje taki homomorfizm $g\colon \mathbb {B} \to \mathbb {C} ,$ że $g\upharpoonright \mathbb {A} =h.$

Idea dowodu

Oczywiście odwzorowanie tożsamościowe $i\colon \mathbb {A} \to \mathbb {B}$ jest homomorfizmem. Z twierdzenia Stone’a wynika, że istnieją takie izomorfizmy $s_{\mathbb {A} }\colon \mathbb {A} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} ),$ $s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )$ i $s_{\mathbb {C} }\colon \mathbb {C} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {C} ),$ że

$s_{\mathbb {B} }\circ i={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} }$

oraz

$s_{\mathbb {C} }\circ h={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} },$

gdzie ${\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {X} )$ oznacza algebrę zbiorów regularnie otwartych przestrzeni Stone’a algebry $\mathbb {X} .$

Z twierdzenia Stone’a wynika ponadto, że ${\overline {i^{*}}}$ jest „na”, ponieważ $i$ jest różnowartościowe. Algebra $\mathbb {C}$ jest zupełna, a więc jej przestrzeń Stone’a jest ekstremalnie niespójna. Na mocy twierdzenia Gleasona istnieje taka funkcja ciągła $f\colon {\rm {{Ult}(\mathbb {C} )\to {\rm {{Ult}(\mathbb {B} ),}}}}$ że

$i^{*}\circ f=h^{*},$

a więc

${\overline {h^{*}}}={\overline {f}}\circ {\overline {i^{*}}}.$

Funkcja

$g=s_{\mathbb {C} }^{-1}\circ {\overline {f}}\circ s_{\mathbb {B} }$

jest szukanym homomorfizmem ponieważ $h=g\circ i.$

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Wstęp do teorii mnogości. PWN, Warszawa, 2007, s. 351–352.