Modularność

Ten artykuł dotyczy własności matematycznej. Zobacz też: moduł.

Modularność – własność obiektów algebraicznych pierwotnie zaobserwowana w teorii grup przez Richarda Dedekinda, stąd znana też jako prawo modularności Dedekinda[a], a następnie przeniesiona na grunt teorii pierścieni i teorii modułów[1]. Naturalnym kontekstem okazała się jednak teoria krat – kraty spełniające tę własność nazwano kratami modularnymi.

Grupy, pierścienie i modułyEdytuj

Osobny artykuł: krata podgrup.

Dla dowolnych podgrup   danej grupy, dla których   (  jest podgrupą  ), zachodzi własność modularności

 

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza iloczyn kompleksowy; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać

 

przy czym dodawanie   oznacza grupę generowaną przez  

W tej postaci jest ona prawdziwa dla pierścieni, czy modułów, gdy   oznaczają ideały danego pierścienia lub podmoduły ustalonego modułu (przy założeniu   jest ideałem/podmodułem     oznacza ideał/moduł generowany przez  )[b][c]. Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na przestrzenie liniowe.

KratyEdytuj

Osobny artykuł: krata modularna.

Dla krat własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów   zachodzi

 

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów   przy czym   zachodzi

 

Sformułowania są równoważne, gdyż   wtedy i tylko wtedy, gdy   Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność

 

jako że tak   jak i   są większe lub równe od   oraz   to prawo modularności jest równoważne

 

Kraty rozdzielna, projektywna, czy metryczna są kratami modularnymi.

PrzykładyEdytuj

Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty podgrup normalnych (permutowalnych/quasi-normalnych)[d] danej grupy, krata podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej (podprzestrzeni danej przestrzeni rzutowej), krata ideałów danego pierścienia, czy krata podmodułów danego modułu. We wszystkich tych przypadkach porządkiem częściowym w tych kratach jest zawieranie. Kres dolny to część wspólna zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; kres górny dowolnego zbioru   elementów definiuje się jako   W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł generowane przez wszystkie elementy należące do sumy  

Niech   będzie grupą, a   oraz   jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których   Jeżeli   jest podgrupą normalną w   to   oraz   pociągają   Z prawa modularności wynika bowiem   założenie normalności   jest niezbędne w celu zagwarantowania, że   ma strukturę grupy (jako iloczyny półproste).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja.
  2. W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech   ponieważ   to  
    Odwrotnie: niech   Jeśli   to   i istnieją takie   że   Wówczas   oraz   (ponieważ  ), więc   Stąd   a zatem   Zawieranie przeciwne: jeśli   to istnieją wtedy takie   oraz   że   Wtedy   ponieważ   a więc   Skoro zaś   to   Dlatego   co dowodzi  
  3. O konieczności założenia   przekonuje następujący przykład: niech   oraz   wtedy   oraz   przy czym  
  4. Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.

PrzypisyEdytuj

  1. Niem. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (1864), fr. Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.