Otwórz menu główne

Pierścień Dedekinda

Pierścień Dedekinda – pierścień całkowity oznaczany jako i zdefiniowany następująco Ciekawą własnością tego pierścienia jest to, że liczba jest elementem nierozkładalnym, ale nie jest elementem pierwszym.

Pierścienie DedekindaEdytuj

Jeśli pierścień   jest podpierścieniem pierścienia   to element   nazywamy całkowitym nad   gdy spełnia on warunek

  dla pewnej liczby naturalnej   i elementów  

(por. twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o całkowitych współczynnikach).

Pierścieniem Dedekinda nazywamy każdy pierścień całkowity noetherowski R całkowicie domknięty (normalny: każdy element całkowity jego ciała ułamków należy do R) w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym. Równoważne sformułowanie: pierścień R jest regularny wymiaru 0.

Jeśli ciało   jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb wymiernych   (tzn.   zawiera   jako podciało i jako przestrzeń liniowa nad   ma skończony wymiar), to zbiór wszystkich elementów ciała   całkowitych nad   jest pierścieniem Dedekinda (w szczególności pierścień   jest pierścieniem Dedekinda).

Inne przykłady pierścieni Dedekinda to pierścienie funkcji regularnych na regularnych krzywych algebraicznych.

Istnieją pierścienie Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu, np.   (w pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy). Jednakże każdy niezerowy ideał pierścienia Dedekinda ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn ideałów maksymalnych.

Jeśli pierścień Dedekinda jest z jednoznacznością rozkładu, to jest pierścieniem ideałów głównych. Jednakże w każdym pierścieniu Dedekinda każdy ideał niezerowy ma dwuelementowy zbiór generatorów.

LiteraturaEdytuj

  • Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, 1977.
  • Władysław Narkiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers, PWN, 1974.

Zobacz teżEdytuj