Lemat Zassenhausa (nieoficjalnie: motyli) – techniczny wynik teorii grup dotyczący kraty podgrup danej grupy, w uogólnieniach również kraty podmodułów ustalonego modułu lub, ogólnie, dowolnej kraty modularnej[1]. „Motyla” można dojrzeć na diagramie Hassego grup biorących udział w twierdzeniu.

Hans Julius Zassenhaus udowodnił lemat, mając na celu podanie czytelniejszej postaci dowodu twierdzenia Shreiera; można go też uzyskać z ogólniejszego wyniku znanego jako twierdzenie Goursata dla rozmaitości Goursata (których przykładem są grupy), wykorzystując prawo modularności Dedekinda[2]. Twierdzenie zachodzi w szczególności również dla grup z operatorami: w sformułowaniu wystarczy zamienić podgrupy normalne na podgrupy stabilne.

LematEdytuj

 
Diagram Hassego do lematu Zassenhausa obrazujący określenie „motyli” (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze).

Niech   będzie grupą, a   oraz   jej podgrupami; ponadto niech   oraz   będą podgrupami normalnymi, wówczas

 

i ma miejsce izomorfizm

 

DowódEdytuj

Niech   Ponieważ   to[a]   czyli   podobnie dla   jest   Jako że   oraz   zapisując dla zwięzłości   to zachodzi   (jako iloczyn prosty, zob. iloczyn kompleksowy).

Ponieważ   oraz   to[b]

 

Teraz   oraz   (ponieważ  ), a więc z (1) wynika

 

Powtarzając to samo rozumowanie dla   zastąpionymi odpowiednio   uzyskuje się

 

Teza wynika z połączenia (2) oraz (3).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Lemat 1. Niech   oraz   Wówczas   oraz  
    Dowód. Drugie twierdzenie o izomorfizmie mówi, że jeśli   jest grupą, a   oraz   to   oraz   jest izomorficzna z  
    Stosując to twierdzenie dla   zastąpionych odpowiednio   otrzymuje się   oraz   Skoro   a   to zachodzi teza.
  2. Lemat 2. Niech   oraz   Wówczas   oraz  
    Dowód. Ponieważ   to wiadomo, że   oraz   Zatem   Należy dowieść, że   jest normalna w   Zauważając, że   (zob. normalizator), otrzymuje się   dla wszystkich   (zob. sprzężenie i podgrupa normalna). Wtedy, dla dowolnych   jest   ponieważ   oraz   Zatem   dla wszystkich   oraz   Z drugiego twierdzenia o izomorfizmie z   odpowiednio w miejscach   otrzymuje się   oraz   Ponieważ   oraz   to izomorfizm ten oznacza, że  

PrzypisyEdytuj

  1. Zob. Pierce, s. 27, ćw. 1.
  2. The Butterfly and the Serpent. W: J. Lambek: Logic and Algebra. Aldo Ursini, Paulo Agliano (red.). CRC Press, 1996, s. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

BibliografiaEdytuj