Operator Hilberta-Schmidta

Operator $A$ nazywamy operatorem Hilberta-Schmidta, jeśli jest on ograniczony na przestrzeni Hilberta oraz dla pewnej bazy ortonormalnej $\{a_{n}\}$ zachodzi:

$\operatorname {tr} |A|^{2}=\sum _{n}\|Aa_{n}\|^{2}<\infty ,$

gdzie $\operatorname {tr} A$ jest śladem operatora $A,$ $\|A\|$ normą $A,$ a $|A|={\sqrt {A^{\star }A}}.$

Wielkość $\operatorname {tr} |A|^{2}$ jest kwadratem tzw. normy Hilberta-Schmidta, oznaczanej jako $\|A\|_{HS}.$ Zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta na przestrzeni $H$ zapisuje się jako ${\mathcal {B}}_{HS}(H).$

Własności

• Norma Hilberta-Schmidta jest normą.
• Przestrzeń ${\mathcal {B}}_{HS}(H)$ jest przestrzenią Banacha.
• $\|A\|_{HS}=\|A^{\star }\|_{HS}.$
• $\|\alpha A\|_{HS}=|\alpha |\|A\|_{HS}.$
• $\|A+B\|_{HS}\leqslant \|A\|_{HS}+\|B\|_{HS}.$
• $\|A\|\leqslant \|A\|_{HS}.$
• $A$ jest operatorem ograniczonym i $B\in {\mathcal {B}}_{HS}(H),$ to $\|AB\|_{HS}\leqslant \|A\|\|B\|_{HS}$ i $\|AB\|_{HS}\leqslant \|A\|\|B\|_{HS}.$
• ${\mathcal {B}}_{HS}(H)$ z iloczynem skalarnym $\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} A^{\star }B$ jest przestrzenią Hilberta.
• Jeśli $A\in {\mathcal {B}}_{HS},$ to A jest operatorem zwartym na $H.$

Zobacz też

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• operator zwarty

Bibliografia

• E. Prugovecki: Quantum Mechanics in Hilbert Space. New York: Academic-Press, 1983.brak strony w książce