Operator Fredholma

Operator Fredholma – w analizie funkcjonalnej, ograniczony operator liniowy pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha, którego jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od Erika Ivara Fredholma, który rozważał takie operatory w teorii równań całkowych.

Twierdzenie AtkinsonaEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami Banacha oraz niech   będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że   jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator   że operatory

 

zwarte[1].

Indeks FredholmaEdytuj

Dla danego operatora Fredholma   definiuje się jego indeks Fredholma   wzorem

 

czyli innymi słowy,

 

gdzie coker   oznacza kojądro   Indeks Fredholma jest zatem liczbą całkowitą.

WłasnościEdytuj

  • Rodzina   złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z   do   jest otwartym podzbiorem przestrzeni wszystkich operatorów z   do   Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma   istnieje taka liczba   że dla każdy operator ograniczony   o tej własności, że   jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co  [3].
  • Jeżeli   i   są operatorami Fredholma, to złożenie   jest również operatorem Fredholma oraz
 [4].
  • Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli   jest operatorem Fredholma, a   jest operatorem zwartym, to   jest również operatorem Fredholma oraz   Ogólniej, jeżeli   jest operatorem Fredholma a   jest operatorem ściśle singularnym, to   jest również operatorem Fredholma oraz  [7].

PrzykładEdytuj

Niech   będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną   indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech   będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.

 

Wówczas   jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra   wynosi 0 (  jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc   jest operatorem Fredholma o indeksie   Kolejne potęgi   są operatorami Fredholma o indeksie   Operatorem sprzężonym do   jest operator przesunięcia w lewo:

 

Operator   jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1[8].

PrzypisyEdytuj

  1. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 161.
  2. Lindenstrauss i Tzafriri 1977 ↓, s. 77.
  3. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 163–166.
  4. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 162.
  5. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 167.
  6. Conway 2010 ↓, s. 350.
  7. T. Kato, Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators, „J. d’Analyse Math” 6 (1958), s. 273–322.
  8. Conway 2010 ↓, s. 349–350.

BibliografiaEdytuj

  • Yuri A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis, An Invitation to Operator Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2002.
  • John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
  • Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.