Otwórz menu główne

Operator Fredholma – w analizie funkcjonalnej, ograniczony operator liniowy pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha którego jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od Erika Ivara Fredholma, który rozważał takie operatory w teorii równań całkowych.

Spis treści

Twierdzenie AtkinsonaEdytuj

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha oraz niech T: XY będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że T jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator S: YX, że operatory

 

zwarte[1].

Indeks FredholmaEdytuj

Dla danego operatora Fredholma T: XY definiuje się jego indeks Fredholma ind T wzorem

 

czyli innymi słowy,

 

gdzie coker T oznacza kojądro T. Indeks Fredholma jest zatem liczbą całkowitą.

WłasnościEdytuj

  • Rodzina Φ(X, Y) złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z X do Y jest otwartym podzbiorem przestrzeni wszystkich operatorów z X do Y. Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma T0: XY istnieje taka liczba ε > 0 że dla każdy operator ograniczony T: XY o tej własności, że ||TT0|| < ε jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co T0.[3]
  • Jeżeli T: XY i U: YZ są operatorami Fredholma, to złożenie UT: XZ jest również operatorem Fredholma oraz
 [4]
  • Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli T: XY jest operatorem Fredholma a K: XY jest operatorem zwartym, to T+K jest również operatorem Fredholma oraz ind(T) = ind(T + K). Ogólniej, jeżeli T: XY jest operatorem Fredholma a S: XY jest operatorem ściśle singularnym, to T+S jest również operatorem Fredholma oraz ind(T) = ind(T + S).[7].

PrzykładEdytuj

Niech H będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną (en) indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech S: HH będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.

 

Wówczas S jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra S wynosi 0 (S jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc S jest operatorem Fredholma o indeksie ind(S) = −1. Kolejne potęgi Sk, k ≥ 0, są operatorami Fredholma o indeksie -k. Operatorem sprzężonym do S jest operator przesunięcia w lewo:

 

Operator S jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1[8].

PrzypisyEdytuj

  1. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 161.
  2. Lindenstrauss i Tzafriri 1977 ↓, s. 77.
  3. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 163-166.
  4. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 162.
  5. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 167.
  6. Conway 2010 ↓, s. 350.
  7. T. Kato, Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators, J. d'Analyse Math. 6 (1958), 273–322.
  8. Conway 2010 ↓, s. 349-350.

BibliografiaEdytuj

  1. Yuri A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis, An Invitation to Operator Theory. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2002.
  2. John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
  3. Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.