Algebra Clifforda

Algebra Clifforda formy kwadratowej $Q\colon V\to K$ to para $(C,j),$ gdzie $C$ jest algebrą nad $K,$ a $j\colon V\to C$ przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego $v\in V$ )

(j(v))^{2}=Q(v)e_{0},

gdzie $e_{0}\in C$ jest elementem neutralnym mnożenia w $C.$ Oznacza się ją $C\ell (V,Q).$

Algebra Clifforda stanowi uogólnienie liczb zespolonych, kwaternionów i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.

Definicja

Algebra Clifforda formy kwadratowej $Q\colon V\to K$ to para $(C,j),$ gdzie $C$ jest algebrą nad $K,$ a $j\colon V\to C$ przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego $v\in V$ )

(j(v))^{2}=Q(v)e_{0},

gdzie $e_{0}\in C$ jest elementem neutralnym mnożenia w $C,$ przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: dla każdej algebry $A$ nad ciałem $K$ i dla każdego przekształcenia liniowego $i\colon V\to A,$ które spełnia równanie

(i(v))^{2}=Q(v)e_{0}'

(dla każdego $v\in V$ ) istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr $h\colon C\to A,$ taki że $i=h\circ j,$ tzn. taki, że poniższy diagram

jest przemienny.

Uwagi

(1) Ponieważ każdej formie kwadratowej $Q\colon V\to K$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa $F\colon V\times V\to K$ taka, że $Q(v)=F(v,v),$ to równość z definicji można zapisać także

(j(v))^{2}=F(v,v)e_{0}.

(2) Rozpisując z jednej strony

F(v+w,v+w)=F(v,v)+F(w,w)+2F(v,w),

a z drugiej strony

(j(v+w))^{2}=(j(v)+j(w))^{2}=(j(v))^{2}+(j(w))^{2}+j(v)j(w)+j(w)j(v)

i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się

j(v)j(w)+j(w)j(v)=2F(v,w)e_{0}.

(3) Formę kwadratową $Q$ na skończenie wymiarowej przestrzeni $V$ z wymiarem równym $n=p+q$ da się zawsze sprowadzić do postaci

Q(v)=F(v,v)=\sum _{i,j=1}^{n}\eta _{i,j}v_{i}v_{j}=v_{1}^{2}+\ldots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\ldots -v_{p+q}^{2},

gdzie $\eta _{i,j}=\pm 1$ dla $i=j$ i $0$ poza tym.

W bazie $(e_{i}),$ w której $Q,$ ma to przedstawienie mamy (oznaczając $j(v)$ przez $v$ )

e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=2\eta _{i,j}e_{0}.

Z tego powodu algebrę Clifforda formy $Q\colon V\to K$ oznacza się też $C\ell _{p,q}(K).$

(4) Wektory z $V$ utożsamia się z ich obrazami w $j(V)$ i bardzo często pisze się $v$ zamiast $j(v).$ Wektory z $C\ell (V,Q)$ rozpięte przez $e_{0}$ utożsamia się z elementami ciała $K.$

Baza i wymiar

Jeżeli przestrzeń liniowa $V$ jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym $n$ z bazą $(e_{i})$ to bazę algebry Clifforda $C\ell (V,Q)$ stanowią $e_{0}$ oraz iloczyny ( $j(v)$ oznaczamy przez $v$ )

e_{i_{1}}\ldots e_{i_{k}}

gdzie $1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n,\ 1\leqslant k\leqslant n$ ^[1].

Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi

{\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\ldots +{\binom {n}{n}}=2^{n}.

Konstrukcja algebry Clifforda

Zobacz też: Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych.

Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej $Q\colon V\to K$ może zostać skonstruowana w następujący sposób^[1]. Niech $\otimes V:=\bigoplus _{k=0}^{\infty }V^{\otimes k}$ będzie algebrą tensorową. $V^{\otimes k}:=V\otimes \ldots \otimes V$ oznacza tutaj $k$ -krotny iloczyn tensorowy $V$ $(V^{\otimes 0}:=K).$ W $\otimes V$ wybieramy ideał $I$ generowany przez tensory postaci $v\otimes v-Q(v)e_{0}.$ Algebrę $C$ definiujemy jako iloraz

C:=\otimes V/I.

$C$ wraz z naturalnym włożeniem $j\colon V\to C$ danym wzorem

j(v):=v+I

jest algebrą Clifforda $C\ell (V,Q).$

Przykłady

(1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda $C\ell _{0,1}(\mathbb {R} ).$ Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech $V=\mathbb {R} .$ Połóżmy $C:=\mathbb {R} ^{2}.$ Oznaczamy $i:=(0,1)$ i kładziemy $i^{2}=-1.$ Przekształcenie liniowe $j\colon V\to C$ jest dane wzorem

j(x)=(0,x)=xi.

Mamy

(j(v))^{2}=(vi)^{2}=-v^{2},

a zatem forma $Q\colon V\to \mathbb {R}$ jest dana wzorem

Q(x)=-x^{2}.

(2) Kwaterniony są algebrą Clifforda $C\ell _{0,2}(\mathbb {R} ).$ Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech $V=\mathbb {R} ^{2}.$ Połóżmy $C:=\mathbb {R} ^{4}.$

Oznaczmy $i:=(0,1,0,0),\quad j:=(0,0,1,0),\quad k:=(0,0,0,1)$ i połóżmy

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.

Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z $C.$

Przekształcenie liniowe $j\colon V\to C$ jest dane wzorem

j(x,y)=(0,x,y,0)=xi+yj.

Mamy

(j(v))^{2}=(j(x,y))^{2}=(xi+yj)^{2}=x^{2}i^{2}+y^{2}j^{2}+xyij+xyji=-x^{2}-y^{2}.

Forma kwadratowa $Q\colon V\to \mathbb {R}$ jest zatem dana wzorem

Q(x,y)=-x^{2}-y^{2}.

(3) Rozpatrzmy $2$ -wymiarową podprzestrzeń $\mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {R} )$ złożoną z macierzy postaci ${\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}.$ Nazwijmy ją $V.$ Jej bazę stanowią macierze $e_{1}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ i $e_{2}:={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$ Mamy

e_{3}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.

Za $C$ przyjmujemy algebrę rozpiętą przez $e_{1},e_{2},e_{3}$ i macierz jednostkową $e_{0}=\mathrm {1}$ ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy

{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}=(a^{2}+b^{2}){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},

a zatem $C$ wraz z $j:=\mathrm {id} _{V},$ jest algebrą Clifforda w formy kwadratowej $Q\colon V\to \mathbb {R}$ danej wzorem

Q(v)=Q\left({\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}\right)=a^{2}+b^{2}.

(4)

Zobacz też: Aksjomaty i konstrukcje liczb.

Liczby podwójne to algebra Clifforda $C\ell _{1,0}(\mathbb {R} ).$
Kokwaterniony to algebra Clifforda $C\ell _{1,1}(\mathbb {R} )$ albo $C\ell _{2,0}(\mathbb {R} ).$
Bikwaterniony to algebra Clifforda $C\ell _{0,3}(\mathbb {R} ).$
Liczby dualne to algebra Clifforda zdegenerowanej formy $Q$ tzn. równej tożsamościowo zero.