Otwórz menu główne

Równanie sześcienne lub trzeciego stopniarównanie algebraiczne postaci gdzie Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

W dalszych częściach tego artykułu w pełni przedstawimy metodę rozwiązywania równań sześciennych o współczynnikach zespolonych.

Rys historycznyEdytuj

Równania sześcienne zostały rozwiązane w pierwszej połowie XVI wieku. W tamtym czasie w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych i każde równanie zapisywano tak aby wszystkie współczynniki były dodatnie. Rozważano więc szereg różnych typów równań trzeciego stopnia. Matematycy wiedzieli jednak, że rozwiązanie ogólnego równania trzeciego stopnia może być zredukowane do rozwiązania równania:

  (gdzie  ).

Włoski matematyk Scipione del Ferro podał metodę rozwiązania jednego z tych typów, a prawdopodobnie też i drugiego. Nie rozgłaszał on swoich odkryć i przekazał on swoją metodę jedynie paru osobom, np. jego student Fior wiedział, jak rozwiązać równanie pierwszego typu. Del Ferro zapisywał wszystkie swoje odkrycia w notatniku, który po jego śmierci przeszedł w posiadanie Hannibala Navego, zięcia del Ferro. (Nave był również matematykiem i po śmierci teścia w 1526 r. przejął jego posadę na Uniwersytecie Bolońskim).

Niezależnie (ale i później) równania te były rozwiązane przez Niccolo Tartaglię. Potrafił on rozwiązać niektóre typy równań, kiedy w 1535 zaaranżowano mecz matematyczny pomiędzy Fiorem a Tartaglią. W czasie tej debaty każda ze stron podała drugiej 30 równań do rozwiązania. Podczas gdy zadania przygotowane przez Tartaglię były bardzo różnorodne, te podane przez Fiora dotyczyły tylko jedynego typu równań, które Fior potrafił rozwiązać. Rankiem 13 lutego 1535 Tartaglia odkrył sposób na rozwiązywanie tego typu równań i mecz wygrał. Swojej metody rozwiązywania równań Tartaglia nie chciał jednak ogłosić.

Girolamo Cardano uprosił Tartaglię w 1539 r. o wyjawienie metody rozwiązywania równań sześciennych, w zamian zobowiązując się do dochowania tajemnicy i nieujawniania metody. W 1540 r., Lodovico Ferrari, asystent Cardana, odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4, jednak odkrycie to nie mogło zostać opublikowane ze względu na obietnicę daną Tartaglii.

W 1543 r. Cardano i Ferrari odwiedzili Navego, zięcia del Ferro, w Bolonii i dowiedzieli się od niego, że to del Ferro był pierwszym matematykiem, który rozwiązał równania trzeciego stopnia. Cardano uznał, że obietnica dana Tartaglii nie obowiązuje go więcej i opublikował metodę rozwiązywania równań 3. i 4. stopnia w swoim dziele Ars Magna w 1545.

Równania sześcienne znalazły zastosowanie m.in. w fizyce i chemii, np. w termodynamice. Równanie van der Waalsa jest równaniem sześciennym ze względu na objętość opisywanego gazu.

Sprowadzenie do postaci kanonicznejEdytuj

Najpierw pokażemy, że równanie

 
(1)

może być sprowadzone do tak zwanej postaci kanonicznej:

 
(2)

Dzieląc obie strony równania (1) przez   otrzymujemy

 

i stosując podstawienie   mamy

 

Po wymnożeniu, uproszczeniu i poszeregowaniu według potęg otrzymujemy

 

Wyraz z kwadratem znika i równanie wygląda tak:

 

Następnie należy zastosować 2 podstawienia:

 
 

Otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej (2). Każdy pierwiastek tego równania wyznacza pierwiastek równania (1).

Tak więc, jeśli wskażemy jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej, to będziemy mogli rozwiązać każde równanie trzeciego stopnia.

Warto zauważyć, że sprowadzenie do postaci kanonicznej łatwo wykonywać, stosując schemat Hornera, ponieważ   i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z   to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu  

Rozwiązywanie równań kanonicznychEdytuj

Zwróćmy uwagę, że jeśli znajdziemy jeden pierwiastek   równania

 
(2)

to na mocy tzw. twierdzenia Bézouta możemy podzielić wielomian   przez   redukując nasze równanie do równania kwadratowego. Rozwiązując to równanie możemy znaleźć pozostałe rozwiązania równania (2). Poniżej najpierw przedstawimy metodę znajdowania jednego pierwiastka naszego równania, a później bardziej szczegółowo opiszemy sposób na znajdowanie wszystkich rozwiązań tego równania.

Jak znaleźć jeden pierwiastekEdytuj

Rozważamy równanie

 
(2)

Jeśli   (a jest to wtedy gdy  ) to znalezienie rozwiązania tego równania sprowadza się do znalezienia liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi da nam   a to po prostu pierwiastek sześcienny z   Poniżej będziemy więc zakładać, że  

Przyjmujemy, że   Wówczas

 
(3)

Po dalszym uporządkowaniu informacji ze wzoru (3) otrzymujemy równanie

 
(4)

Zauważamy, że jeśli

  oraz  
(5)

(a  ), to   spełnia równanie (4) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on równanie (2). Rozwiązując układ równań (5), otrzymujemy   oraz

 

Stąd

 

Po pomnożeniu przez   otrzymamy

 

Podstawiając za   zmienną pomocniczą   otrzymujemy równanie kwadratowe:

 
(6)

Równanie (6) ma pierwiastek (możliwe że zespolony):

 

Następnie wybieramy liczbę   taką, że   Kładziemy    i zauważamy że   spełniają równania (5). Jeśli więc położymy

 

to liczby   będą spełniać równanie (4), czyli

  jest pierwiastkiem równania (2).

Wszystkie rozwiązania: wzory CardanaEdytuj

Poniżej będzie przedstawiona metoda, pozwalająca otrzymać wszystkie pierwiastki równania (2), jeśli jeden został już znaleziony według powyższej metody. Niech   będą pierwiastkami 3. stopnia z jedynki, tzn.

        

Tak jak wcześniej, niech   będzie pierwiastkiem równania (6):

 

Ustalmy liczby   takie, że

    oraz    (zob. drugą równość z (5)).

Zauważmy, że

 

Zatem dla pewnego   mamy, że

 

Niech   będzie takie, że   i połóżmy

 

Wówczas liczby   spełniają równania (5). Niech

       oraz    

Uzasadnienie: gdy weźmiemy   z indeksem 1, to pomnożenie dodaje 1/3 pełnego kąta, pomnożenie przez kwadrat dodaje 2/3 pełnego kąta. Równie dobrze moglibyśmy brać   dodając 2/3 pełnego kąta i dla kwadratu 4/3 = 1/3 pełnego kąta, natomiast nie można brać   = 1.

(Powyższe wzory, po wykonaniu w nich podstawień stosownych formuł na   nazywane są wzorami Cardana. Są one współczesnym uogólnieniem metody opisanej przez Girolama Cardana w Ars Magna.)

Wykażemy, że liczby   są wszystkimi rozwiązaniami równania (2).

Zauważmy najpierw, że   więc

 
(7)

Mamy też

 
 
(8)

(przypomnijmy, że   oraz   patrz (5)). Także

   
(9)

(tu również korzystamy z równań (5)). Używając równań (7)-(9), otrzymujemy

 

Stąd już możemy wywnioskować, że   są wszystkimi pierwiastkami równania (2).

PrzykładyEdytuj

Prosty przykładEdytuj

Równanie   ma pierwiastki –4,–1,0.

Przechodzimy do formy  

  = –4,3333, q=2,592592,
  = –1,2962 + 1,1547*i ma 3 pierwiastki: 0,8333+0,866*i, –1,16666+0,2886i, 0,3333-1,1547i,
  niech będzie pierwszym pierwiastkiem.
  ma trzy pierwiastki: 0,8333–0,8660i, 0,3333+1,1547, –1,166666–0,28867i,

(w tym prostym przypadku pierwiastki są sprzężone, co pozwoli na eliminację części urojonej)

  niech będzie ostatnim pierwiastkiem
  = –0,5 –0,866i =   stąd m=2, więc n=1
  = 0,8333, –0,8666
     

I ostatecznie mamy wyniki ze wzoru  : x0=0, x1=-4, x2=-1.

Współczynniki zespoloneEdytuj

Powyższy wzór znajduje pierwiastki zespolone radząc sobie również jeżeli mamy zespolone współczynniki. Weźmy równanie

 

Wynik można sprawdzić na stronie WolframAlpha.

Dla naszego równania p = 0,83431 + 0,7357·i, q = 2,09853 – 0,00568·i. We wzorze na   występuje pierwiastek dający dwa rozwiązania, bierzemy jedno   = –0,01360 + 0,02031·i.

  ma 3 pierwiastki:
0,218141 + 0,191450·i, –0,27487 + 0,0931·i: 0,05673 – 0,284641·i.

Wybieramy dla   pierwszy pierwiastek = 0,218141 + 0,191450·i.

  = –2,08492 –0,014632·i, ma trzy pierwiastki: 0,641345 – 1,1048·i, 0,636169 + 1,107854·i, –1,277515 – 0,0029885·i.

Wybieramy dla   na przykład ostatni pierwiastek = –1,277515 – 0,0029885·i.   = –0,278106 – 0,245233·i jako m wybieramy 0 bo   = 1 jest odpowiednim.

A więc również n=1 bo 1*1=1;

  = –1,05937 + 0,188462·i,   = 0,3612975 + 1,201045·i:   = 0,6980765 –1,389507·i
  = –0,95681 + 0,3679495,   = 0,463861 + 1,3805324,   = 0,800640 –1,210020.

PodsumowanieEdytuj

Aby rozwiązać równanie

 
(1)

o współczynnikach zespolonych, sprowadzamy je do postaci kanonicznej

 
(2)

gdzie   Następnie znajdujemy parę liczb   spełniających równania

    oraz    

(Wymaga to rozwiązania równania kwadratowego i wyznaczenia pierwiastków trzeciego stopnia.) Rozwiązaniami równania (1) są liczby

 
 
 

Pierwiastki rzeczywiste równania kanonicznego o współczynnikach rzeczywistychEdytuj

W oparciu o dyskusję w poprzedniej sekcji możemy podać gotowe wzory na pierwiastki rzeczywiste równań w postaci kanonicznej. Rozważamy następujące równanie:

 
(2)

gdzie współczynniki  liczbami rzeczywistymi. Określmy jego wyróżnik jako

 

Zależnie od znaku wyróżnika równania mamy 3 możliwości.

Przypadek 1    

Wówczas

 

jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania (2).

Przypadek 2    

Wówczas równanie (2) ma co najwyżej dwa rozwiązania w liczbach rzeczywistych:

   oraz   

Gdy   to rozważane równanie ma w liczbach rzeczywistych dokładnie dwa różne pierwiastki; jeden z nich jest podwójny.

Przypadek 3    

W tym przypadku równanie (2) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Aby wyznaczyć i opisać te pierwiastki, używamy funkcji trygonometrycznych i postaci trygonometrycznej liczb zespolonych.

Ponieważ   to   a stąd

 

Możemy więc zdefiniować

 

oraz wybrać liczbę   tak, że

 

Wówczas    i     a zatem liczba   spełnia równanie kwadratowe   Sprawdzamy, że sprzężone liczby zespolone

   oraz    

spełniają równania (5). Stąd, zgodnie z argumentacją z końca poprzedniej sekcji, znajdujemy, że wszystkie pierwiastki równania (2) są rzeczywiste i są to:

 
 
 

Inne metody rozwiązywania równania kanonicznegoEdytuj

Ważony para-cosinusEdytuj

Dla równania kanonicznego

 

korzystamy ze wzorów Viète’a i otrzymujemy:

 
 
 

Ten nieliniowy układ z trzema niewiadomymi ze względu na wysoką symetrię jest jednym z niewielu, które dają się rozwiązać analitycznie. Ze względu na prostotę pierwszego równania wystarczy zająć się jedynie dwoma następnymi po wyrugowaniu zmiennej  

 
 

Zastosujemy teraz podstawienie para-trygonometryczne (ważony para-cosinus):

 
 

zależności

 

prowadzą do układu równań

 
 

który rozwiązujemy rozwiązując proste równanie kwadratowe.

Podstawienie Viète’aEdytuj

W równaniu kanonicznym   podstawiamy

 

co prowadzi do równania kwadratowego na  

 

a dalej do sześciu rozwiązań na   ale tylko trzech na   jako że każda liczba rzeczywista lub zespolona różna od zera ma zawsze trzy pierwiastki trzeciego stopnia.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj