Równanie symetryczne

Równanie symetrycznerównanie algebraiczne postaci

gdzie dla każdego i zachodzi

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem i na podstawie twierdzenia Bézouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

gdzie i dzielimy obie strony równania przez Grupując wyrazy, otrzymujemy

Podstawmy teraz Wówczas sumy można wyrazić jako wielomiany zmiennej

i ogólnie, korzystając ze związku

czyli

możemy obliczyć mając i

Tak więc po podstawieniu równanie redukuje się do równania stopnia

Rozwiązując to równanie, ze związku otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

PrzykładyEdytuj

  • Równanie   gdzie  

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez   Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

 
  gdzie  

Dzieląc obustronnie przez   i grupując wyrazy, otrzymujemy

 

Podstawiając   mamy   Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

 
 

i korzystając z tych rozwiązań, obliczyć  

Zobacz teżEdytuj