Otwórz menu główne

Spis treści

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebrytwierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):

TwierdzenieEdytuj

Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia   można przedstawić w postaci iloczynu

 

dla pewnych  

UwagaEdytuj

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia   może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej   Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w   są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

HistoriaEdytuj

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d’Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange’a, Laplace’a i Wooda. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. Trzeba zauważyć, że dowód Gaussa również zawierał lukę, chociaż bardziej subtelną[1].

NazwaEdytuj

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

O dowodachEdytuj

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

  • funkcje wielomianoweciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
  • twierdzenie Weierstrassa: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli   jest przestrzenią zwartą, a   jest rzeczywistą funkcją ciągłą na   to istnieją takie punkty   że
 
oraz
 

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’aEdytuj

Niech   będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian   nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja   jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego   istnieje takie   że w zewnętrzu okręgu   (inaczej mówiąc, dla  ) spełniona jest nierówność   Niech   i   będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian   nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn.   dla każdej liczby zespolonej   Wówczas funkcja   dana wzorem:

 

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla   zachodzi nierówność:

 

ponieważ   dla  

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji   w kole   Rozważmy funkcję

 

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte   jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element   że:

 

Wynika stąd, że:

 

Możemy tym samym oszacować funkcję   na całej płaszczyźnie:

 

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że   jest stała, ale wtedy:

 

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian   ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowoduEdytuj

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

 

istnieje taka liczba zespolona   że

 

Lemat 1Edytuj

Jeśli   jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

 

DowódEdytuj

Niech

 

Wówczas

 

gdzie:

 

Z ciągłości funkcji wielomianowej   oraz faktu, że   dla pewnego   spełniony jest warunek

 

o ile tylko   Stąd, jeśli

 

to

 

Podstawiając   dostajemy

 

dla wszystkich  

Ostatecznie:

 

oraz

 

gdy

 

Istnieje więc takie   że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

 

Lemat Cauchy’egoEdytuj

Dla każdego wielomianu   o współczynnikach zespolonych, dla którego   istnieje taka liczba   że minimum funkcji   jest osiągnięte w kole  

DowódEdytuj

Niech

 

przy czym   Niech ponadto

 

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem   spełniona jest nierówność   Ponieważ koło   jest zbiorem zwartym, funkcja   przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego   spełniającego   W szczególności,   Zatem   jest również minimum globalnym funkcji  

Lemat 2Edytuj

Niech   będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek   oraz niech   będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej   istnieje taka liczba zespolona   że

 

DowódEdytuj

Niech   i   będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej   wynika, iż istnieje takie   że

 

o ile   Niech   będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

 

Niech   wówczas

  dla  

Dla każdego   istnieje   które spełnia powyższą równość.

 
 

Jeżeli   jest takie, że   to:

 

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było   to musi być   czyli:

 

Lemat d’Alemberta-Arganda[2][3]Edytuj

Niech   będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek   Dla każdej liczby zespolonej   dla której   istnieje taka liczba   że

 

DowódEdytuj

 

przy czym   Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona  

 

czyli

 

Przyjmując   otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebryEdytuj

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że   i nie istnieje takie   że   Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień   że minimum globalne   jest przyjęte w kole   dla pewnego   Założyliśmy jednak, że   jest zawsze większe od   a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje   takie, że   co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie   funkcja   przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Fund theorem of algebra, www-groups.dcs.st-and.ac.uk [dostęp 2016-04-04].
  2. J.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182–192.
  3. J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209.

BibliografiaEdytuj

Źródła historyczneEdytuj