Pierścień topologiczny

Pierścień topologiczny – pierścień $R$ w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie

(x,y)\mapsto x+y

jest ciągłe jako funkcja

R\times R\to R,

mnożenie

(x,y)\mapsto x\cdot y

jest ciągłe jako funkcja

R\times R\to R,

działanie

x\mapsto -x

jest ciągłe jako funkcja

R\to R.

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia $(R,+)$ jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz

działanie

x\mapsto x^{-1}

jest ciągłe jako funkcja

R^{\times }\to R^{\times },

gdzie $R^{\times }=R\setminus \{0\}$ jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze $X$ (z działaniami określonymi punktowo),
pierścień $C_{0}(X)$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej $X$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności

Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech $\{R_{i}\colon i\in I\}$ będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech $R$ będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli $\{f_{i}\colon i\in I\}$ jest taką rodziną funkcji, że dla każdego $i$ funkcja $f_{i}$ jest homomorfizmem $R_{i}\to R,$ to pierścień $R$ wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń $\{f_{i}\colon i\in I\}$ jest pierścieniem topologicznym.
Składowa spójności $C$ zera pierścienia topologicznego $R$ jest domkniętym ideałem w $R$ oraz zbiór $x+C$ jest składową spójności elementu $x$ tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia

Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0-444-89446-2.

Linki zewnętrzne

Topological ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].