Wzory Cramera

Wzory Crameratwierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie) stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej (zob. Pochodne funkcji uwikłanych).

TwierdzenieEdytuj

Niech dany będzie układ równań liniowych

 

gdzie   oraz  

Jeśli wyznacznik   to układ jest

  • oznaczony (ma jedno i tylko jedno rozwiązanie) dane wzorami:
     

W przeciwnym przypadku, gdy   układ jest

  • sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy
    choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający   jest różny od zera;
  • nieoznaczony (ma więcej niż jedno rozwiązanie) lub sprzeczny, gdy
    wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające   są równe zeru.

DowódEdytuj

LematEdytuj

Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ma on niezerowy wyznacznik.

Konieczność
Dowód nie wprost. Jeśli   to układ   jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor   dla którego
 
co oznacza, że
 
czyli wektor   jest jeszcze jednym, różnym od   rozwiązaniem danego układu.
Dostateczność
Niezerowy wyznacznik,   pociąga liniową niezależność układu   który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ   jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie
 
w tej bazie, zatem   jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

DowódEdytuj

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor   który spełniałby

 

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

 

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

 

skąd jest

 

Pozostałe współrzędne wektora   otrzymuje się analogicznie.

PrzykładyEdytuj

Układy małych stopniEdytuj

Układ równań

 

zapisany w postaci macierzowej ma postać

 

Jego rozwiązania mają wtedy postać

 

oraz

 

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

 

zapisuje się w postaci macierzowej jako

 

a jego rozwiązaniami są wtedy

 

Pochodne funkcji uwikłanychEdytuj

Niech dane będą dwa równania   oraz   Jeśli   oraz   są zmiennymi niezależnymi, to bywa, że   oraz   dają się wyrazić jako   oraz   Wówczas wzory Cramera umożliwiają znalezienie równania opisującego  

Mając na celu wyznaczenie wspomnianej pochodnej należy w pierwszej kolejności obliczyć różniczki       oraz   za pomocą których zostanie ona wyrażona:

 

Podstawiając   oraz   do równań na   oraz   otrzymuje się:

 

Ponieważ   i   są niezależne, to współczynniki przy   i   muszą być zerami; oznacza to, że powyższe równania można zapisać jako równania na współczynniki:

 

oraz

 

Ze wzorów Cramera wynika teraz

 

czyli szukaną pochodną można wyrazić w postaci ilorazu dwóch jakobianów.

Podobne wzory można wyprowadzić dla  

BibliografiaEdytuj