Ciąg (teoria grup)

Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

DefinicjeEdytuj

Niech   czyli   będzie podgrupą w grupie   Skończony ciąg podgrup grupy   włączając w to   oraz   nazywa się ciągiem (podnormalnym) od   do   (lub między   a  ), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

 

Podgrupy   nazywa się wyrazami ciągu   Grupy ilorazowe   nazywa się ilorazami (lub faktorami) ciągu   Ciąg od podgrupy trywialnej   do podgrupy niewłaściwej   nazywa się krótko ciągiem grupy   Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów   ciągu   jest normalny w   to ciąg   również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu   mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak   dla każdego   to ciąg   nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

 

od   do   nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu   jeżeli każdy wyraz ciągu   jest również wyrazem ciągu   Rozdrobnienie ciągu   otrzymuje się więc z   poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów  [a]. Jeżeli jednak   jest zagęszczeniem   i przynajmniej jeden z wyrazów   nie jest wyrazem   to   nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu  

Ciąg kompozycyjnyEdytuj

Ciąg grupy   nazywa się ciągiem kompozycyjnym   jeżeli jest on ciągiem właściwym   bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy (faktory) ciągu kompozycyjnego   nazywa się ilorazami (faktorami) grupy   Ciąg

 

grupy   jest ciągiem kompozycyjnym   wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy    proste[b].

RównoważnośćEdytuj

Niech   będzie grupą. Dwa ciągi

 

oraz

 

grupy   nazywa się równoważnymi, jeżeli   oraz ilorazy   są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów    

Uwaga
W powyższej definicji nie żąda się, by   dla wszystkich   warunek mówi jedynie, że   dla pewnej permutacji   Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów  

Dowolne dwa ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowyEdytuj

Osobny artykuł: grupa rozwiązalna.

Ciąg

 

od   do   nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy  grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralnyEdytuj

Osobny artykuł: grupa nilpotentna.

Ciąg

 

od   do   nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy  podgrupami centralnymi, tzn.   (dla   gdzie   oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ   to w szczególności   jest normalna w   dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy   były przemienne ze wszystkimi ilorazami    

PrzykładyEdytuj

Literą   oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

  •   jest ciągiem grupy symetrycznej   a   jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą  ), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym   ponieważ ilorazy   oraz   są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
  •   jest ciągiem normalnym grupy   Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym   ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup   lub   bądź   między   a   (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów   jest ciągiem kompozycyjnym     przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
  • Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest   Istotnie, dowolny ciąg ma postać
 
gdzie   Jeśli   jest wielokrotnością   oraz   to
 
jest właściwym zagęszczeniem   (symbol   oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg   ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg   nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.
 
Diagram podzielności liczby 12.
  • Niech   będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy
 
są ciągami kompozycyjnymi   (przy czym   jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z   Zatem nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Przykładowo   jest zagęszczeniem  
  2. Niech dany ciąg będzie ciągiem kompozycyjnym   Z definicji jest to ciąg właściwy. Dlatego   i wszystkie ilorazy   są różne od grupy trywialnej   Jeśli jeden z ilorazów, np.   nie byłby prosty, to   miałoby nietrywialną właściwą podgrupę normalną, którą można zapisać jako   gdzie   (na podstawie charakteryzacji podgrup grupy ilorazowej). Dlatego   (w istocie  ) i dany ciąg ma właściwe zagęszczenie uzyskane poprzez wstawienie   między   a   wbrew założeniu, że ciąg jest kompozycyjny. Zatem wszystkie   są proste  
    Odwrotnie: niech wszystkie ilorazy   będą proste   Wtedy   są nietrywialne i   dla wszystkich   Zatem dany ciąg jest właściwy. Jeśli nie byłby to ciąg kompozycyjny, to miałby on zagęszczenie właściwe. Dla ustalenia uwagi można założyć, że takie zagęszczenie ma wyraz   między   a   czyli   Zgodnie z charakteryzacją podgrup grupy ilorazowej   byłoby nietrywialną właściwą podgrupą normalną w   wbrew założeniu, że wszystkie ilorazy, w tym   są proste. Zatem dany ciąg musi być kompozycyjny.

BibliografiaEdytuj