Twierdzenie Wedderburna

Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniemprzemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonym[1][2]. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 roku[3] (poniższy dowód pochodzi od Ernsta Witta[potrzebny przypis] i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

DowódEdytuj

Niech   będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce   Niech   będzie jego centrum, a   niech będzie liczbą elementów   Jeśli wymiar   jako przestrzeni liniowej nad   jest równy   to   ma   elementów. Grupę multiplikatywną   niezerowych elementów pierścienia   można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności:

dwa elementy   i   grupy  sprzężone, jeśli istnieje taki element   grupy   że  

Niech dla   symbol   oznacza centralizator elementu   (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia   przemiennych z   Jest to podpierścień w   zawierający   Jeśli   jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej)   nad   to   ma   elementów. Liczba   jest podzielna przez   i   dla  

Ponieważ liczba elementów grupy   sprzężonych z   jest równa indeksowi grupy   w   czyli

 

więc

(*)  

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z   Niech   i niech

 

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne   z jedynki  -tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli   dzieli   i jest różne od   to wielomian   dzieli

 

Dlatego w (*) z wyjątkiem   wszystkie składniki są podzielne przez   i dlatego   Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

 

ma wartość bezwzględną większą od   skąd sprzeczność. Zatem   i   czyli   jest pierścieniem przemiennym.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • André Weil: Basic number theory. Springer-Verlag, 1967., wyd. ros. 1972
  • J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc.. 
  • Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Dowody z Księgi. Warszawa: PWN, 2002.

Linki zewnętrzneEdytuj