Liczba idealna

Liczba idealna – dywizor pierścienia liczb całkowitych $A$ pewnego ciała liczb algebraicznych nazywane często „dywizorami całkowitymi” pierścienia $A.$ Wspomniane dywizory tworzą półgrupę wolną z jedynką, a jej wolne generatory to tzw. pierwsze liczby idealne. Liczby idealne można utożsamiać z ideałami pierścienia $A$.

Liczby idealne zostały wprowadzone w celu usunięcia braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w pierścieniach całkowitych liczb pierwszych (zob. pierścień z jednoznacznością rozkładu). Dla każdego $a\in A$ rozkład odpowiedniego dywizora $\varphi (a)$ na iloczyn pierwszych liczb idealnych można rozpatrywać jako zamianę jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w przypadku, gdy w pierścieniu $A$ tej jednoznaczności rozkładu nie ma.

Przykład

Pierścień $A$ wszystkich liczb całkowitych ciała $\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$ składa się ze wszystkich takich liczb $a+b{\sqrt {-5}},$ gdzie $a,b\in \mathbb {Z} .$ W pierścieniu tym liczba 6 ma dwa różne rozkłady na czynniki:

$6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})\cdot (1+{\sqrt {-5}}),$

przy czym liczby $2,3,1-{\sqrt {-5}},1+{\sqrt {-5}}$ są różnymi liczbami pierwszymi pierścienia $A.$ Zatem rozkład na czynniki pierwsze w $A$ jest niejednoznaczny. Jednak w półgrupie dywizorów ${\mathcal {D}}$ elementy $\varphi (2),\varphi (3),\varphi (1-{\sqrt {-5}}),\varphi (1+{\sqrt {-5}})$ nie są proste, a mianowicie:

$\varphi (2)={\mathfrak {p}}_{1}^{2},\varphi (3)={\mathfrak {p}}_{2}{\mathfrak {p}}_{3},\varphi (1-{\sqrt {-5}})={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2},\varphi (1+{\sqrt {-5}})={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{3},$

gdzie ${\mathfrak {p}}_{1},{\mathfrak {p}}_{2},{\mathfrak {p}}_{3}$ są pierwszymi liczbami idealnymi w ${\mathcal {D}}.$ W taki sposób oba rozkłady liczby 6 na iloczyn czynników pierwszych w pierścieniu $A$ odpowiadają w półgrupie ${\mathcal {D}}$ jednoznacznemu rozkładowi $\varphi (6)={\mathfrak {p}}_{1}^{2}{\mathfrak {p}}_{2}{\mathfrak {p}}_{3}.$

Historia

Na podstawie encyklopedii matematycznej pod redakcją Winogradowa.

Pojęcie liczb idealnych zostało wprowadzone przez Ernsta Kummera przy badaniu arytmetyki ciał podziału koła. Niech $K=\mathbb {Q} (\zeta )$ będzie ciałem podziału koła na $p$ części (gdzie $p$ jest liczbą pierwszą całkowitą), a $A=\mathbb {Z} (\zeta )$ niech będzie pierścieniem liczb całkowitych pierścienia $K.$ Liczbami idealnymi u Kummera były iloczyny idealnych liczb pierwszych. Natomiast idealne liczby pierwsze dzielące daną pierwszą liczbę naturalną $q\neq p$ otrzymuje się, używając twierdzenia Kummera. Wykorzystując fakt, że $A$ ma bazę $1,\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{p-2}$ nad $\mathbb {Z} ,$ Kummer rozpatrywał rozkład wielomianu podziału koła $F_{p}(X)$ w $\mathbb {Z} _{q}[X].$ Liczbami idealnymi dzielącymi liczbę $q$ są elementy znajdujące się we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z nieprzywiedlnymi czynnikami rozkładu wielomianu $F_{p}(X).$ Analogiczną metodą można opracować teorię podzielności w ciałach postaci $\mathbb {Q} (\zeta ,{\sqrt[{p}]{m}}),$ gdzie $m\in \mathbb {Q} (\zeta ).$

Rozszerzenia teorii liczb idealnych na przypadek dowolnego ciała liczb algebraicznych dokonali Leopold Kronecker i Richard Dedekind. Prace Kroneckera rozwijały teorię dywizorów, a Dedekind każdej liczbie idealnej przyporządkowywał „ideał” pierścienia $A,$ przez który rozumiał podzbiór $A,$ składający się z 0 i wszystkich takich $a,$ które są podzielne przez daną liczbę idealną. Później pojęcie ideału zostało uogólnione na dowolne pierścienie. Pierścień, w którym pojęcia ideału i dywizora są identyczne nazywa się pierścieniem Dedekinda.

Stan prac nad liczbami idealnymi do roku 1985 opisano w monografii Borewicza i Szafarewicza.

Bibliografia

• Ernst Kummer. „J. reine und angew. Math.”. 35, s. 319–367, 1847. 
• Ernst Kummer. „J. math. pures et appl.”. 16, s. 377–498, 1851. 
• Bourbaki N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann, 1961-1965, seria: Éléments de matématique. Brak numerów stron w książce
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Теория чисел. Москва: Наука, 1985. (ros.). Brak numerów stron w książce
• И.М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д – Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.). Brak numerów stron w książce