Otwórz menu główne

Twierdzenie Gaussa (algebra)

Ten artykuł dotyczy twierdzenia algebraicznego. Zobacz też: twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa oraz inne lematy Gaussa.

Twierdzenie Gaussa (również lemat Gaussa) – twierdzenie algebry udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa.

Wielomian pierwotnyEdytuj

Wielomian pierwotny to wielomian o współczynnikach z ciała   będącego ciałem ułamków pewnego pierścienia   którego współczynniki są całkowite nad   oraz nie mają, poza jednościami, wspólnych czynników w  

Przykładowo wielomian   jest pierwotny, ale   nie jest (gdy   jest, na przykład, pierścieniem liczb całkowitych).

TwierdzeniaEdytuj

Twierdzenie Gaussa mówi, że

Iloczyn dwóch wielomianów pierwotnych jest wielomianem pierwotnym.

Korzystając z tego twierdzenia można dowieść poniższego, często nazywane także lematem Gaussa:

Jeżeli   jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to   (pierścień wielomianów nad  ) także jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

BibliografiaEdytuj