Homomorfizm pierścieni

(Przekierowano z Morfizmy pierścieni)

Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   oraz   będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni   i   nazywamy dowolne odwzorowanie   takie, że

  •   – zachowane jest dodawanie
  •   – zachowane jest mnożenie

Jeżeli   i  pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się

  •   – element neutralny mnożenia w   jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w  [a]

WłasnościEdytuj

  •   tzn. element neutralny dodawania w   jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w  
  • element przeciwny przechodzi w element przeciwny   Wynika to z rozumowania:  

ObrazEdytuj

Obrazem homomorfizmu   nazywamy zbiór

 

czyli zbiór takich elementów   które są wartościami odwzorowania   na co najmniej jednym elemencie zbioru  

Obraz homomorfizmu   jest podpierścieniem pierścienia  

JądroEdytuj

Jądrem homomorfizmu   nazywamy zbiór

 

gdzie   oznacza zero pierścienia  

Jądro homomorfizmu   jest ideałem pierścienia  

Morfizmy pierścieniEdytuj

MonomorfizmEdytuj

Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm   jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy   gdzie   oznacza zero pierścienia  

EpimorfizmEdytuj

Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm   który jest funkcją typu „na”, tzn.  

IzomorfizmEdytuj

Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm   nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy   jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie   istnieje (ponieważ   jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie   i  izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm   (równoważnie: izomorfizm  ) i oznaczamy   W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności   jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanonicznyEdytuj

Niech   będzie dowolnym pierścieniem, zaś   dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie   określone   jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie   nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia   na pierścień ilorazowy  

Twierdzenie o homomorfizmieEdytuj

Jeśli   jest epimorfizmem pierścieni   to   jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym   (izomorfizmem jest odwzorowanie   określone  ) oraz   gdzie   jest homomorfizmem kanonicznym.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia R przechodzą na zero pierścienia S.