Homomorfizm pierścieni
Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.
Definicja formalna edytuj
Niech oraz będą dowolnymi pierścieniami.
Homomorfizmem pierścieni i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że
Jeżeli i są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się
- – element neutralny mnożenia w jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w [a].
Własności edytuj
- tzn. element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w
- element przeciwny przechodzi w element przeciwny Wynika to z rozumowania:
Obraz edytuj
Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór
czyli zbiór takich elementów które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru
Obraz homomorfizmu jest podpierścieniem pierścienia
Jądro edytuj
Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór
gdzie oznacza zero pierścienia
Jądro homomorfizmu jest ideałem pierścienia
Morfizmy pierścieni edytuj
Monomorfizm edytuj
Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.
Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza zero pierścienia
Epimorfizm edytuj
Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm który jest funkcją typu „na”, tzn.
Izomorfizm edytuj
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.
Mówimy, że pierścienie i są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności jest relacją równoważności.
Homomorfizm kanoniczny edytuj
Niech będzie dowolnym pierścieniem, zaś dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie określone jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia na pierścień ilorazowy
Twierdzenie o homomorfizmie edytuj
Jeśli jest epimorfizmem pierścieni to jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym (izomorfizmem jest odwzorowanie określone ) oraz gdzie jest homomorfizmem kanonicznym.
Zobacz też edytuj
Uwagi edytuj
- ↑ W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia przechodzą na zero pierścienia