Topologie komplementarne

Topologie komplementarne – dwie topologie określone na wspólnej przestrzeni, które są jednocześnie niezależne i transwersalne, tzn. ich część wspólna jest topologią koskończoną, natomiast ich suma jest podbazą topologii dyskretnej lub, innymi słowy, generuje topologię dyskretną. Badania nad topologiami komplementarnymi zapoczątkował A. K. Steiner w 1966 roku.

Definicje

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem. Rodzina

$\{A\subseteq X\colon \,A=\varnothing \vee |X\setminus A|<\aleph _{0}\}$

jest topologią w zbiorze $X$ nazywaną topologią koskończoną.

Topologie $\tau$ i $\sigma$ w zbiorze $X$ nazywa się:

• niezależnymi, gdy topologia $\tau \cap \sigma$ jest topologią koskończoną.
• transwersalnymi, gdy suma $\tau \cup \sigma$ generuje topologię dyskretną, tzn. najmniejszą topologią zawierającą rodzinę $\tau \cup \sigma$ jest topologia dyskretna.
• komplementarnymi, gdy są równocześnie niezależne i transwersalne.

Własności

• Twierdzenie Steinera (1966): nie istnieje w zbiorze przeliczalnym (nieskończonym) para niezależnych topologii typu T₂.
• Jeśli $(X,\tau )$ jest przestrzenią Hausdorffa to istnieje topologia $\sigma$ w zbiorze $X$ taka, że topologie $\tau ,\sigma$ są transwersalne oraz $(X,\sigma )$ jest przestrzenią zwartą.