Hipoteza Gilbreatha

Hipoteza Gilbreatha – problem teorii liczb, po raz pierwszy sformułowany przez François Protha w 1878 roku[1], podał on również jej dowód, jednak okazał się on błędny[2]. Niezależnie od niego hipoteza została sformułowana w XX wieku przez Normana Gilbreatha i do tej pory pozostaje nieudowodniona[2].

ObserwacjaEdytuj

Rozważmy ciąg liczb pierwszych:

 

Obliczając wartość bezwzględną różnic kolejnych elementów ciągu, otrzymujemy ciąg:

 

Powtarzając operację dla powyższego ciągu, dostajemy:

 
 
 
 
 

Jak widzimy, po kilku iteracjach za każdym razem otrzymujemy ciąg, którego pierwszym elementem jest 1. Naturalnym pytaniem jest, czy dzieje się tak dla dowolnie wielu iteracji.

Sformułowanie hipotezyEdytuj

Niech   oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. Możemy z nim stowarzyszyć ciąg   gdzie   Mając ciąg   określamy ciąg   przyjmując   Hipoteza Gilbreatha stanowi, że   dla każdej liczby naturalnej  

Problem pozostaje nierozwiązany do dzisiaj, choć w 1993 roku Andrew Odlyzko sprawdził ją dla  [2].

PrzypisyEdytuj

  1. Proth, F. „Sur la série des nombres premiers.” Nouv. Corresp. Math 4, 236-240, 1878.
  2. a b c Chris Caldwell: The Prime Glossary: Gilbreath’s conjecture.