Indeks (teoria liczb)

Indeks – w teorii liczb – liczba odgrywająca w teorii kongruencji rolę analogiczną do roli logarytmów w arytmetyce i algebrze.

Definicja

Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, a $g$ jest pierwiastkiem pierwotnym modulo $p,$ to indeksem liczby naturalnej $a$ nazywana jest taka liczba $k=\operatorname {ind} a,$ że $a\equiv g^{k}{\pmod {p}}$.

Własności

Dla liczb naturalnych $a,b$ oraz liczby pierwszej $p$

• $\operatorname {ind} ab\equiv \operatorname {ind} a+\operatorname {ind} b{\pmod {p-1}},$
• $\operatorname {ind} {\frac {a}{b}}\equiv \operatorname {ind} a-\operatorname {ind} b{\pmod {p-1}},$

gdzie przez ${\frac {a}{b}}$ należy rozumieć rozwiązanie kongruencji $bx\equiv a{\pmod {p}}$.

• Indeks pozwala na rozwiązywanie kongruencji $ax^{n}\equiv b{\pmod {p}}$ przez sprowadzenie jej do kongruencji liniowej $\operatorname {ind} a+n\operatorname {ind} x\equiv \operatorname {ind} b{\pmod {p-1}}$.

• Pojęcie indeksu wprowadził C. F. Gauss w 1801 roku. W 1839 roku Carl Jacobi ułożył tablice indeksów dla wszystkich liczb pierwszych do 1000.