Nierówność Lévy’ego jest jedną z nierówności maksymalnych.
Służy do szacowania prawdopodobieństwa , że
max
1
⩽
k
⩽
n
|
S
k
|
{\displaystyle \max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|}
jest większe lub równe od pewnej ustalonej liczby rzeczywistej (gdzie
S
k
{\displaystyle S_{k}}
to suma niezależnych symetrycznych zmiennych losowych ) przez prawdopodobieństwo, że ostatnia z tych sum –
S
n
{\displaystyle S_{n}}
jest większa lub równa niż ta sama liczba rzeczywista (z dokładnością do stałej).
Oznaczmy
A
k
=
{
|
S
1
|
<
s
,
|
S
2
|
<
s
,
…
,
|
S
k
−
1
|
<
s
,
|
S
k
|
⩾
s
}
.
{\displaystyle A_{k}=\{|S_{1}|<s,|S_{2}|<s,\dots ,|S_{k-1}|<s,|S_{k}|\geqslant s\}.}
Zauważmy, że
A
k
⊂
(
A
k
∩
{
|
S
k
+
(
S
n
−
S
k
)
|
⩾
s
}
)
∪
(
A
k
∩
{
|
S
k
−
(
S
n
−
S
k
)
|
⩾
s
}
)
.
{\displaystyle A_{k}\subset (A_{k}\cap \{|S_{k}+(S_{n}-S_{k})|\geqslant s\})\cup (A_{k}\cap \{|S_{k}-(S_{n}-S_{k})|\geqslant s\}).}
Ponieważ zmienne
X
k
{\displaystyle X_{k}}
są symetryczne, więc łączny rozkład
(
S
1
,
S
2
,
…
,
S
k
,
(
S
n
−
S
k
)
)
{\displaystyle (S_{1},S_{2},\dots ,S_{k},(S_{n}-S_{k}))}
jest identyczny jak łączny rozkład
(
S
1
,
S
2
,
…
,
S
k
,
−
(
S
n
−
S
k
)
)
.
{\displaystyle (S_{1},S_{2},\dots ,S_{k},-(S_{n}-S_{k})).}
Zatem
P
(
A
k
)
⩽
2
P
(
A
k
∩
{
|
S
n
|
>
s
}
)
.
{\displaystyle P(A_{k})\leqslant 2P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\}).}
Otrzymujemy więc tezę:
P
(
max
1
⩽
k
⩽
n
|
S
k
|
⩾
s
)
=
∑
k
=
1
n
P
(
A
k
)
⩽
2
∑
k
=
1
n
P
(
A
k
∩
{
|
S
n
|
>
s
}
)
⩽
2
P
(
|
S
n
|
⩾
s
)
{\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})\leqslant 2\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\})\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)}