Punkty Brocarda

Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.

Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów

Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie[1]:

W trójkącie o bokach znajduje się dokładnie jeden taki punkt że proste z bokami odpowiednio tworzą równe kąty tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości[1]:

Punkt nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta Kąt jest kątem Brocarda trójkąta

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta punkt dla którego odcinki według tej kolejności, z bokami tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie

KonstrukcjaEdytuj

Przykład:

  1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty  
  2. Kreślimy prostą   przez punkty   i   prostą, a przez punkty   i   oraz prostą   przez punkty   i  
  3. Kreślimy symetralną boku   i oznaczamy ją przez  
  4. Kreślimy prostą   prostopadłą do prostej, a przez punkt  
  5. Punkt przecięcia się symetralnej   i prostej   oznaczamy  
  6. Z punktu   kreślimy okrąg o promieniu   Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt   i jest styczny do prostej  
  7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty   i   styczny do prostej  

a następnie okrąg przez punkty   i   styczny do prostej  

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta  

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta BrocardaEdytuj

Oznaczmy przez   pole powierzchni trójkąta   Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

  •  
  •  
  •  

Dla każdego trójkąta:  

WłaściwościEdytuj

  • Oba punkty Brocarda trójkąta   są ze sobą sprzężone izogonalnie.
  • Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

PrzypisyEdytuj

  1. a b S. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 123.