Równanie Johnsona-Mehla

Równanie Johnsona-Mehla – cząstkowe rozwiązanie równania prędkości przemiany, po przyjęciu szeregu upraszczających założeń. Zostało opracowane przez Johnsona i Mehla i pierwotnie posłużyło do opisu zależności prędkości przemiany od czasu przemiany dla izotermicznego rozpadu austenitu w perlit[1].

ZałożeniaEdytuj

  • Zarodkowanie i wzrost cząstek nowej fazy biegną równolegle w trakcie całego czasu przemiany.
  • Rozmieszczenie zarodków w objętości fazy wyjściowej jest całkowicie przypadkowe.
  • Prędkość zarodkowania jest stała.
  • Cząstki nowej fazy zarodkują i rosną w kształcie kul (zarodkowanie homogeniczne).
  • Liniowa prędkość wzrostu nie zmienia się z czasem[1].

Idea równania J-MEdytuj

Ogólne równanie prędkości przemiany:

 

gdzie:

  – ułamek przemiany (postęp przemiany) [m³],
  – czas [s],
  – całkowita powierzchnia międzyfazowa, zmieniająca się z czasem [m²],
  – prędkość migracji powierzchni międzyfazowej, zmieniająca się z czasem [m/s].

Po uwzględnieniu założeń Johnsona-Mehla wprowadza się nowe współczynniki do powyższego równania. Ułamek przemiany y zostaje zastąpiony przez tzw. przedłużony ułamek przemiany yy, a powierzchnia międzyfazowa S na przedłużoną powierzchnię międzyfazową Sy. Są to odpowiednio wielkości objętości i powierzchni międzyfazowej jaką posiadałyby cząstki nowej fazy, gdyby wzrastały bez zderzeń i mogły zarodkować w całej objętości materiału (nawet w miejscach, gdzie zaszła już przemiana).

Johnson i Mehl wykazali, że z całkowitej przedłużonej powierzchni międzyfazowej wszystkich sferycznych cząstek jedynie pewien jej ułamek nie znajduje się wewnątrz innych cząstek. Zapisać można to poniższą relacją:

 

Po podłożeniu wszystkich nowych zmiennych i relacji oraz następnie scałkowaniu wyrażenia otrzymujemy równanie Johnsona-Mehla:

 

Relacja ta określa związek pomiędzy rzeczywistym ułamkiem przemiany y i hipotetycznym ułamkiem przedłużonym yy. W zależności od przyjętych założeń odnośnie do geometrii faz, warunków zarodkowania oraz wzrostu, szczegółowa postać równania ulega zmianie. W każdym przypadku krzywa obrazująca zmianę ułamka przemiany w czasie objawia się w postaci sigmoidalnej[1].

Wykorzystanie praktyczneEdytuj

Dane eksperymentalne dotyczące zmian ułamka przemiany w czasie pochodzą z badań:

Układają się one w postaci krzywej sigmoidalnej. Z tego powodu równanie Johnsona-Mehla przedstawia się najczęściej w poniższej postaci:

 

gdzie:

  – ułamek przemiany (postęp przemiany) [m³],
  – stała prędkości przemiany [s−1],
  – czas [s],
  – wykładnik potęgowy.

Kształt krzywej   określony jest wartością wykładnika potęgowego. Stała prędkości przemiany determinuje położenie wykresu na osi czasu[1].

Wykładnik potęgowy nEdytuj

Wartość wykładnika potęgowego może być wyznaczona graficznie dla wykresu o równaniu liniowym:

 

Wykładnik potęgowy ma wartość tangensa kąta nachylenia takiej prostej[1].

Stała prędkości przemiany kEdytuj

Stałą prędkości przemiany można wyznaczyć odczytując z wykresu y(log(t)) wartość t0,63. Wynika to z faktu, że dla kt = 1 ułamek przemiany wynosi 0,63.

 

Wartość stałej prędkości ma zdecydowany wpływ na proces zarodkowania oraz mechanizm migracji powierzchni międzyfazowej. Obydwa te procesy są aktywowane cieplnie, dlatego dla stałej prędkości przemiany również można zapisać taką relację:

 

gdzie:

  – stała przedeksponencjalna [s−1],
  – energia aktywacji przemiany [J/mol],
 stała gazowa [J/mol·K],
  – temperatura bezwzględna [K].

Jeżeli dwu procesów krzywe sigmoidalne są izokinetyczne (przemiany zachodzą tym samym mechanizmem) to znając temperatury obydwu procesów (T1 i T2) można wyznaczyć energię aktywacji Q takiej przemiany. Krzywe izokinetyczne charakteryzują się tym, iż mają taki sam kształt, odpowiednie punkty leżą w takiej samej odległości dt na osi czasu oraz wykładnik potęgowy n jest taki sam dla obu przemian[1].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f Kędzierski Zbigniew: Przemiany fazowe w układach skondensowanych. Kraków: UWND AGH, 2003. ISBN 83-88408-75-5.