Równanie szlifierzy soczewek

Równanie szlifierzy soczewek – równanie opisujące zależność ogniskowej soczewki sferycznej od promieni krzywizn jej powierzchni.

Postać ogólna równania

Ogniskową $f$ soczewki sferycznej o promieniach krzywizn równych $R_{1}$ oraz $R_{2}$ oraz o grubości $D,$ wykonanej z materiału o współczynniku załamania $n$ można wyrazić za pomocą wzoru:

${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n}{n_{0}}}-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\left({\frac {n_{0}}{n}}-1\right){\frac {D}{R_{1}R_{2}}}\right],$

gdzie $n_{0}$ jest współczynnikiem załamania materiału otoczenia soczewki.

Równanie jest całkowicie czułe na znaki zawartych w nim wielkości (tzn. różne znaki $R_{1}$ i $R_{2}$ skutkują poprawnym znakiem $f$). Promienie $R_{1}$ i $R_{2}$ uznaje się za dodatnie, kiedy soczewka jest z danej strony wypukła oraz za ujemne dla powierzchni wklęsłych.

Uproszczenia równania

Cienka soczewka

W przypadku cienkiej soczewki można przyjąć $D\approx 0$ i powyższe równanie upraszcza się do:

${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n}{n_{0}}}-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right).$

Soczewka w powietrzu

W powietrzu $n_{0}\approx 1,$ przez co wzór upraszcza się do:

${\frac {1}{f}}=(n-1)\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right).$

W dalszych rozważaniach przyjęto właśnie powyższą postać wzoru.

Różne cienkie soczewki sferyczne

Poniżej przedstawiono uproszczone wzory opisujące różne rodzaje soczewek sferycznych. Dla ułatwienia czytelności i użycia, promienie krzywizn przedstawiono w postaci ich wartości bezwzględnych. Tak więc znak stojący po znaku równości jest równocześnie znakiem ogniskowej soczewki.

Rodzaj soczewki sferycznej	Warunek	Postać wzoru
Symetrycznie dwuwypukła	${\begin{cases}R_{1}=R_{2}=R\\R>0\end{cases}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {2}{|R|}}\left(n-1\right)$
Symetrycznie dwuwklęsła	${\begin{cases}R_{1}=R_{2}=R\\R<0\end{cases}}$	${\frac {1}{f}}=-{\frac {2}{|R|}}\left(n-1\right)$
Płasko-wypukła	${\begin{cases}R_{1}=\infty \\R_{2}=R\\R>0\end{cases}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {1}{|R|}}\left(n-1\right)$
Płasko-wklęsła	${\begin{cases}R_{1}=\infty \\R_{2}=R\\R<0\end{cases}}$	${\frac {1}{f}}=-{\frac {1}{|R|}}\left(n-1\right)$

Soczewka kulista

W mikro-optyce stosuje się niekiedy soczewki mające postać kul. Wtedy $R_{1}=R_{2}=D/2=R$ i równanie szlifierzy przyjmuje postać:

${\frac {1}{f}}={\frac {2}{R}}{\frac {n-n_{0}}{n}},$

zaś w powietrzu:

${\frac {1}{f}}={\frac {2}{R}}{\frac {n-1}{n}}.$

Zastosowanie

Równanie szlifierzy soczewek jest powszechnie używane w produkcji przyrządów optycznych ze względu na jego przejrzystość oraz prostotę pomiaru wymaganych wielkości.

Wzór ten jest jednak jedynie przybliżeniem, które nie uwzględnia grubości soczewki oraz zjawisk optycznych z nią związanych. W rzeczywistości bowiem, propagacja światła wewnątrz soczewki ma wpływ na jej ogniskową. Wzór zakłada również perfekcyjną jednolitość materiału, z którego została wykonana soczewka.

W pracy teoretycznej, użycie wzoru pozwala (ze względu na prostotę jego przekształceń i uproszczeń) na stosunkowo łatwe opisanie krzywizny soczewki lub współczynnika załamania danego materiału oraz ich zależności od położenia ogniska soczewki.