Wersja z 08:28, 3 mar 2009 edytuj Olaf (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy 23 733 edycje m integracja ← poprzednia edycja		Wersja z 08:52, 3 mar 2009 edytuj anuluj edycję Olaf (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy 23 733 edycje rozbudowa następna edycja →
Linia 1: '''Proporcja''' – [[równość]] dwóch [[Stosunek (matematyka)\|stosunków]] postaci :<math>\frac{a~~\pm b~~}{b}=\frac{c~~\pm d~~}{d}</math>▼ ~~:<math>\begin{matrix}a\\ \;\end{matrix} \Big/\begin{matrix}\ \\b\;\end{matrix}\;=\;\begin{matrix}c\\ \;\end{matrix} \Big/\begin{matrix}\ \\d\;\end{matrix}</math>~~ lub (inny zapis) :<math>~~\frac{~~a\pm ~~c}{~~:\ b=c\ :\pm d}=\~~frac{a}{b}~~;</math>▼ W zapisie tym ''a'' i ''d'' nazywamy '''wyrazami skrajnymi''', ''b'' i ''c'' – '''środkowymi'''. Podstawowa własność proporcji mówi, że [[iloczyn]] wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych: :<math>ad = bc\;</math> ~~Dalsze własności:~~ ▲:<math>\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}</math> ▲:<math>\frac{a\pm c}{b\pm d}=\frac{a}{b}</math> pod warunkiem, że wszystkie wyrażenia mają sens (w mianowniku żadnego z nich nie otrzymamy 0).▼ == Reguła trzech == Linia 14 ⟶ 12: :<math>a=\frac{bc}{d},\qquad b=\frac{ad}{c},\qquad c=\frac{ad}{d},\qquad d=\frac{bc}{a}</math> Wzory te znane są jako '''reguła trzech'''. W Europie weszły do użytku w XV-XVII wieku w praktyce kupieckiej. == Proporcje pochodne == Z równania proporcji wynikają także inne proporcje: <math>\tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{d},\quad</math> <math>\tfrac{d}{b}=\tfrac{c}{a},\quad</math> <math>\tfrac{a+b}{b}=\tfrac{c+d}{d},\quad</math> <math>\tfrac{a-b}{b}=\tfrac{c-d}{d},\quad</math> <math>\tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{a}{b},\quad</math> <math>\tfrac{a-c}{b-d}=\tfrac{a}{b},\quad</math> <math>\tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{c}{d},\quad</math> <math>\tfrac{a-c}{b-d}=\tfrac{c}{d},\quad</math> <math>\tfrac{a+b}{a-b}=\tfrac{c+d}{c-d},\quad</math> <math>\tfrac{a-b}{a+b}=\tfrac{c-d}{c+d},\quad</math> ▲prawdziwe pod warunkiem, że wszystkie wyrażenia mają sens (w mianowniku żadnego z nich nie otrzymamy 0). == Proporcja harmoniczna == Linia 19 ⟶ 31: :<math>\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}</math> jest nazywana '''proporcją harmoniczną'''. Rozkład danej liczby ''a'' na dwa składniki: ''b'' oraz ''a - b'' zgodnie z regułą proporcji harmonicznej nazywa się [[złoty podział\|złotym podziałem]] lub '''podziałem harmonicznym'''. == Proporcja złożona == Zapis postaci :<math>a_1\ :\ a_2\ :\ \dots\ :\ a_n\ =\ b_1\ :\ b_2\ :\ \dots\ :\ b_n</math> oznacza układ równań: :<math>\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}</math> lub równoważnie: :<math>\begin{cases} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\\ \frac{a_2}{a_3}=\frac{b_2}{b_3}\\ \dots \\ \frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{b_{n-1}}{b_n} \end{cases}</math> == Bibliografia == * {{cytuj książkę\|tytuł=Encyklopedia szkolna – matematyka\|wydawca=Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne\|rok=1990\|strony=207-208\|miejsce=Warszawa\|wydanie=I\|isbn=83-02-02551-8}} [[Kategoria:Proporcje]]

Proporcja (arytmetyka): Różnice pomiędzy wersjami