Lemat Kuratowskiego-Zorna: Różnice pomiędzy wersjami

Lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny [[aksjomat wyboru|aksjomatowi wyboru]], w takim sensie, że każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego i z użyciem [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatów Zermelo-Fraenkela]] z [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Jest to prawdopodobnie najbardziej użyteczny równoważnik aksjomatu wyboru i występuje w dowodach kilku twierdzeń o podstawowym znaczeniu. Ogólniej, istnieje większa liczba twierdzeń równoważnych Lematowi Kuratowskiego-Zorna, pojęciowo związanych nie tylko z teorią mnogości:

 

* Prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów <math>A,B</math>: <math>|A|=|B|</math> albo <math>|A|>|B|</math> albo <math>|A|<|B|</math>.

* Twierdzenie Königa: Jeśli <math>I</math> jest zbiorem oraz <math>\mathfrak{m}_i, \mathfrak{n}_i</math> są takimi [[liczba kardynalna|liczbami kardynalnymi]], że dla każdego <math>i\in I</math> spełniona jest nierówność <math>\mathfrak{m}_i< \mathfrak{n}_i</math>, wówczas

:<math>\sum_{i\in I}\mathfrak{m}_i<\prod_{i\in I}\mathfrak{n}_i</math>.

* [[Twierdzenie Hausdorffa]].

* Każda [[przestrzeń liniowa]] ma [[baza (przestrzeń liniowa)|bazę]].

 

<!-- *twierdzenie mówiące o tym, że (twierdzenie to jest równoważne z lematem Kuratowskiego-Zorna).-->

*twierdzenie [[algebra uniwersalna|algebry uniwersalnej]] mówiące, że każde [[ciało (matematyka)|ciało]] ma domknięcie algebraiczne.