|
'''Wektor zerowy''' – w [[algebraprzestrzeń liniowa|algebrzeprzestrzeni liniowej]] [[wektor]] będący [[przestrzeńelement euklidesowaneutralny|przestrzenielementem euklidesowejneutralnym]], któregododawania wszystkiew składowe[[grupa są(matematyka)|grupie]] równewektorów. zeru,Zwykle czylizapisuje się go symbolami <math>(0,\mathbf 0, \dots,vec 0)</math>. Zwyklelub zapisujepo się go symbolamiprostu <math>\vec 0</math>,. Jest to więc wektor spełniający <math>x+\mathbf 0=\mathbf 0+x=x</math> lubdla pokażdego prostuwektora <math>0\mathbf x</math>.
Dla dowolnej liczby (skalara) <math>a</math> zachodzi <math>a\mathbf 0=\mathbf 0</math>. Własność tę można ująć następująco: układ złożony z wektora zerowego jest [[liniowa niezależność|liniowo zależny]]. Uogólnienie ma postać: każdy układ wektorów zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.
Z uogólnień przestrzeni euklidesowej wyłania się inny rodzaj wektora, również nazywanego zerowym, który omówiony zostanie w dalszej części artykułu.
* [[Przeciwobraz]] wektora zerowego względem [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] nazywany jest [[jądro (algebra)|jądrem]] tego przekształcenia . Przestrzeń liniowa zawierająca jedynie wektor zerowy nazywana jest [[Przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|przestrzenią zerową]]. ▼==Algebra liniowa==
* W ogólnej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej (wektorowej)]] wektor zerowy jest jednoznacznie wyznaczonym wektorem, który jest [[element neutralny|elementem neutralnym]] [[wektor#Dodawanie i odejmowanie|dodawania wektorów]]. Oznacza to, że jeżeli <math>\mathbf a</math> oraz <math>\mathbf b</math> są wektorami zerowymi, to <math>\mathbf a = \mathbf a + \mathbf b = \mathbf b</math>, a więc istnieje tylko jeden wektor zerowy.
* Wektor zerowy jest szczególnym przypadkiem [[tensor zerowy|tensora zerowego]]. Jest on wynikiem [[wektor#Mnożenie przez skalar|mnożenia skalarnego]] przez skalar zerowy.
▲* [[Przeciwobraz]] wektora zerowego względem [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] nazywany jest [[jądro (algebra)|jądrem]] tego przekształcenia.
* [[Przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|Przestrzeń zerowa]] to przestrzeń liniowa, której jedynym elementem jest wektor zerowy.
* Dowolny układ wektorów zawierający wektor zerowy jest [[liniowa niezależność|liniowo zależny]].
* W [[przestrzeń unormowana|unormowanej przestrzeni liniowej]] istnieje tylko jeden wektor o normie równej zeru, jest to właśnie wektor zerowy.
==Przestrzenie półunormowane==
W*w [[przestrzeń unormowanawspółrzędnych|półunormowanych przestrzeniach liniowychwspółrzędnych]] możewektor istniećzerowy więcejma niżwszystkie jeden wektorskładowe orówne normiezeru zerowej.czyli Wektoryma tepostać nazywane<math>(0, są0, często\dots, '''zerowymi'''0)</math>.
*w przestrzeni afinicznej każdy z wektorów <math>\vec{AA}, \vec{BB}, \vec{CC}</math> jest tym samym wektorem zerowym
W [[przestrzeń unormowana|unormowanej przestrzeni liniowej]] jedynym wektorem, którego norma jest zerowa jest wektor zerowy. Obrazowo mówiąc, wektor zerowy ma '''długość''' zerową i jest to jedyny wektor o tej własności. W [[przestrzeń unormowana|półunormowanych przestrzeniach liniowych]] każdy wektor, którego norma jest zerowa jest nazywany wektorem zerowym (patrz np. wektory [[czasoprzestrzeń Minkowskiego|światłopodobne]] w przestrzeni Minkowskiego).
* [[czasoprzestrzeń Minkowskiego|Światłopodobne]] wektory przestrzeni Minkowskiego.
W [[przestrzeń unitarna|przestrzeniach unitarnych]] zachodzi <math>\langle \mathbf 0, \mathbf x \rangle = \langle \mathbf x,\mathbf 0 \rangle = \mathbf 0</math>,
* Wektory zerowe w [[moduł Vermy|module Vermy]] [[algebra Liego|algebry Liego]].
.
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
| 