Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary): Różnice pomiędzy wersjami

Przykładowo [[miara Lebesgue'a|miarę Lebesgue'a]] <math>\lambda</math> na [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>\mathbb R^n</math> otrzymuje się z miary zewnętrznej <math>\lambda^*,</math> która zbiorowi <math>A</math> tej przestrzeni przypisuje kres dolny objętości [[przedział wielowymiarowy|przedziałów wielowymiarowych]] (prostopadłościanów) zawartych w tym zbiorze. Twierdzenie [[Constantin Carathéodory|Constantina Carathéodory'ego]] daje [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrę]] podzbiorów <math>\mathbb R^n</math> do której zawężona <math>\lambda^*</math> staje się [[miara zupełna|miarą zupełną]]. Dowód, iżże sąmiara tota zbioryjest borelowskie[[miara borelowska|borelowska]] i żedla miara taprostopadłościanów pokrywa się z objętościąich prostopadłościanów[[przedział wielowymiarowy#Objętość|objętością]] jest przypadkiem szczególnym [[twierdzenie Hahna-Kołmogorowa|twierdzenia Hahna-Kołmogorowa]]<ref>Nie jest to ściśle rzecz ujmując prawdą w tym sensie, iż przed użyciem twierdzenia należy wykazać, że zbiór wszystkich prostopadłościanów wielowymiarowych stanowi algebrę, a objętość jest na niej [[premiara|premiarą]]. Nie mniej oszczędza to mnóstwo pracy w tym sensie, tzn.iż rozszerzenie generuje σ-algebrę.</ref>.