Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary): Różnice pomiędzy wersjami

Zbiór <math>A</math> ''rozdziela'' zbiór <math>E</math> względem <math>\mu^*,</math> jeśli

: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c).</math>

 

Wówczas zbiór <math>\mathfrak M</math> podzbiorów <math>X,</math> które spełniają warunek Carathéodory'ego względem <math>\mu^*,</math> jest [[ciało zbiorów|algebrą]], a <math>\mu</math> będąca zawężeniem <math>\mu^*</math> do <math>\mathfrak M</math> jest [[miara skończenie addytywna|miarą skończenie addytywną]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|addytywna]]). Co więcej, jeśli <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] (tzn. jest również [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]] i [[funkcja addytywna|przeliczalnie podaddytywna]]), to <math>\mathfrak M</math> jest [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrą]], zaś <math>\mu</math> jest [[miara (matematyka)|miarą]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|przeliczalnie addytywna]]).