Wikipedia

Równanie rekurencyjne: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Lampak (dyskusja | edycje)
Redaktorzy
10 563 edycje
mNie podano opisu zmian
m do integracji
Linia 1:
{{integruj do|Równanie rekurencyjne}}
'''Równanie rekurencyjne''' - równanie, które definiuje [[ciąg (matematyka)|ciąg]] w sposób [[Rekurencja|rekurencyjny]].
 
'''Rozwiązanie rekursji''' – postać jawna (iteracyjna) [[równanie rekurencyjne|równania rekurencyjnego]] opisującego daną rekursję.
Przykładem równania rekurencyjnego liniowego jest równanie postaci
 
W większości przypadków, przy zastosowaniu odpowiednio zaawansowanego aparatu algebraicznego można uzyskać dokładne rozwiązanie równania/nierówności rekurencyjnej, często są to jednak metody [[Złożoność obliczeniowa|nieefektywne]] lub/i [[Algorytm numerycznie stabilny|numerycznie niestabilne]]. Zazwyczaj zadowalające jest rozwiązanie asymptotyczne.
: <math>a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2} \,</math>
 
{{stub}}
gdzie dane jest <math>A,B</math>.
 
Załóżmy, że ma ono rozwiązanie postaci <math>a_{n}=r^{n}</math>. Podstawiając otrzymujemy:
 
: <math>r^n=Ar^{n-1}+Br^{n-2}.\,</math>
 
Dzieląc przez <math>r^{n-2}</math>,
 
: <math>r^2=Ar+B</math>
: <math>r^2-Ar-B=0</math>.
 
Równanie to nazywamy '''równaniem charakterystycznym''' równania rekurencyjnego. W tym przypadku jest to równanie kwadratowe.
 
Jeżeli nie ma ono pierwiastków podwójnych, wówczas
: <math>a_n = C\lambda_1^n+D\lambda_2^n \,</math>
 
Jeżeli natomiast równanie charakterystyczne ma pierwiastek podwójny, to
: <math>a_n = C\lambda^n+Dn\lambda^n \,</math>
 
''C'' i ''D'' są dowolnymi stałymi. Jeżeli dane jest <math>a_{1}</math> i <math>a_{2}</math> wówczas można łatwo ułożyć układ równań i otrzymać ich wartość.
 
=== Zobacz też ===
* [[twierdzenie o rekurencji uniwersalnej]]
 
[[Kategoria:Rekurencja]]
 
[[cs:Diferenční rovnice]]
[[de:Differenzengleichung]]
[[en:Recurrence relation]]
[[es:Relación de recurrencia]]
[[fa:معادله تفاضل]]
[[fr:Suite définie par récurrence]]
[[ko:점화식]]
[[it:Relazione di ricorrenza]]
[[he:נוסחת נסיגה]]
[[hu:Rekurzív sorozat]]
[[nl:Differentievergelijking]]
[[ja:漸化式]]
[[pt:Relação de recorrência]]
[[ru:Рекуррентная формула]]
[[fi:Differenssiyhtälö]]
[[sv:Differensekvation]]
[[uk:Рекурентне співвідношення]]
[[ur:فرق مساوات]]
[[zh:遞迴關係式]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_rekurencyjne”