|
'''Wartość oczekiwana '''('''wartość średnia, przeciętna, ''' dawniej '''nadzieja matematyczna''') – w [[teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] wartość wskazującaokreślająca spodziewany wynik doświadczenia losowego; należy mieć na uwadze, że wartość ta nie musi oznaczać żadnego z elementów [[przestrzeń zdarzeń elementarnych|przestrzeni próbek]]. InnymiWartość słowyoczekiwana jestto toinaczej pierwszy [[moment zwykły]]. [[Estymator]]em wartości oczekiwanej [[rozkład cechy|rozkładu cechy]] w populacji jest [[średnia arytmetyczna]]. Wartość oczekiwana nazywana jest też '''wartością średnią''' lub '''wartością przeciętną''', dawniej używano także nazwy „nadzieja matematyczna” (od fr. ''espérance mathématique''), stąd też pochodzi częste jej oznaczenie w postaci różnego rodzaju stylizacji [[E|litery „E”]].
== Definicja ==
=== Zmienna dyskretna ===
Niech <math>X</math> będzie [[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu dyskretnego]]. '''Wartością oczekiwaną''' nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.
Formalnie, jeżeliJeżeli [[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|dyskretna]] [[zmienna losowa]] <math>X</math> przyjmuje wartości <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math>, to wartość oczekiwana <math>\mathbb EX</math> zmiennej losowej <math>X</math> wyraża się wzorem
: <math>\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i</math>.
Jeżeli zmienna <math>X</math> przyjmuje nieskończenie ale [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie]] wiele wartości, to wzórwe wzorze na jej wartość oczekiwaną mawystępuje <math>\infty</math> w miejsce <math>n\,</math> (istnieje ona tylko wtedy, gdy [[szereg (matematyka)|szereg]] ten jest zbieżny).
=== Zmienna ciągła ===
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to '''wartość oczekiwaną''' zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka Lebesgue'a|całkę Lebesgue'a]]
: <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math>
o ile <math>X</math>powyższa jestcałka [[funkcja całkowalna|sumowalna]]istnieje, tzn. jeżeli:
: <math>\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty</math>.
== WłasnościWłaściwości ==
Jeśli <math>X</math> jest zmienną losową o [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|funkcji gęstości prawdopodobieństwa]] <math>f(x)</math>, to jej wartość oczekiwana wynosi
: <math>\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx</math>.
* <math>\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|</math>.
== W mechanice kwantowej ==
== Mechanika kwantowa ==
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. Wartość oczekiwana [[obserwablaObserwabla|obserwabli]], której odpowiada [[operator hermitowski]] <math>\hat{A}</math> dla [[stan kwantowy|stanu kwantowego]] układu opisywanego [[funkcja falowa|funkcją falową]] <math>\psi</math> wynosi <math>\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau </math>, gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau </math>,
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W [[notacja Diraca|notacji Diraca]] wzór ten przybieramożna postaćzapisać:
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle</math>.
[[Zasadazasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A}</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A}</math>, wynosi
: <math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>.
== Zobacz też ==
| 