Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami

jest [[granica ciągu|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''. Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematków, [[Stefan Banach|Stefana Banacha]] i [[Stanisław Saks|Stanisława Saksa]], którzy rozszerzyli [[Twierdzenie Mazura o domknięciach powłok wypukłych|twierdzenie Mazura]] mówiące, że [[słaba topologia|słaba granica]] ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy [[kombinacja wypukła|kombinacji wypukłych]] wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w [[przestrzeń Lp|przestrzeni <math>L^p(0,1)</math>]], 1 < ''p'' <∞ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro<ref>S. Banach, S. Saks, ''Sur la convergence forte dans les champs <math>L_p</math>'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 51–57.</ref>. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na [[przestrzeń jednostajnie wypukła|przestrzenie jednostajnie wypukłe]]<ref>S. Kakutani, ''Weak convergence in uniformly convex spaces'' Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) ss. 165–167.</ref>. [[Wiesław Szlenk]] wprowadził pojęcie ''słabej własności Banacha-Saksa'' zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem [[słaba topologia|słabo zbieżnym]] do zera oraz udowodnił, że przestrzeń <math>L^1(0,1)</math> ma tę własność<ref>W. Schlenk, ''Sur les suites faiblement convergents dans l'espace <math>L</math>'' Studia Mathematica, 25 (1969) ss. 337–341.</ref>. Definicja (słabej) własności Banacha-Saksa przenosi się ''[[mutatis mutandis]]'' na podzbiory przestrzeni unormowanych.

 

* Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest [[przestrzeń refleksywna|refleksywna]]<ref>T. Nishiura, D. Waterman, ''Reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 23 (1963) ss. 53–57</ref>. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności – pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina<ref>A. Baernstein II, ''On reflexivity and summability'' Studia Mathematica, 42 (1972) ss. 91–94.</ref>.

* Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. [[przestrzeń Schreiera]]), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa<ref>J. Schreier, ''Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 58–62.</ref>. Udowodnił także, że przestrzeń [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[Liczby porządkowe|liczbie porządkowej]] <math>\omega^\omega+1</math> również nie ma tej własności.