Wersja z 20:27, 24 lut 2011 edytuj Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9013 edycji poprawa linków ← poprzednia edycja		Wersja z 00:47, 25 lut 2011 edytuj anuluj edycję Przykuta (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy 63 645 edycji drobne redakcyjne następna edycja →
Linia 2: '''Własność Banacha-Saksa''' – własność [[przestrzeń unormowana\|przestrzeni unormowanej]] polegająca na tym, że każdy [[funkcja ograniczona\|ograniczony]] [[ciąg (matematyka)\|ciąg]] jej punktów ma [[podciąg]] zbieżny według średniej ([[ciąg sumowalny w sensie Cesàro\|sumowalny w sensie Cesàro]]), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu <math>(x_n)_n</math> jej punktów istnieje podciąg <math>(x_{n_k})_k</math> o tej własności, że ciąg : <math>\left(\frac{x_{n_1}+\ldots+x_{n_k}}{k}\right)_{k\in \mathbb{N}}</math> jest [[granica ciągu\|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''. jest [[granica ciągu\|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''. Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematków, [[Stefan Banach\|Stefana Banacha]] i [[Stanisław Saks\|Stanisława Saksa]], którzy rozszerzyli [[Twierdzenie Mazura o domknięciach powłok wypukłych\|twierdzenie Mazura]] mówiące, że [[słaba topologia\|słaba granica]] ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy [[kombinacja wypukła\|kombinacji wypukłych]] wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w [[przestrzeń Lp\|przestrzeni <math>L^p(0,1)</math>]], 1 < ''p'' <∞ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro<ref>S. Banach, S. Saks, ''Sur la convergence forte dans les champs <math>L_p</math>'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 51–57.</ref>. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na [[przestrzeń jednostajnie wypukła\|przestrzenie jednostajnie wypukłe]]<ref>S. Kakutani, ''Weak convergence in uniformly convex spaces'' Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) ss. 165–167.</ref>. [[Wiesław Szlenk]] wprowadził pojęcie ''słabej własności Banacha-Saksa'', zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem [[słaba topologia\|słabo zbieżnym]] do zera oraz udowodnił, że przestrzeń <math>L^1(0,1)</math> ma tę własność<ref>W. Schlenk, ''Sur les suites faiblement convergents dans l'espace <math>L</math>'' Studia Mathematica, 25 (1969) ss. 337–341.</ref>. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.▼ ▲~~jest [[granica ciągu\|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''.~~ Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich ~~matematków~~matematyków, [[Stefan Banach\|Stefana Banacha]] i [[Stanisław Saks\|Stanisława Saksa]], którzy rozszerzyli [[Twierdzenie Mazura o domknięciach powłok wypukłych\|twierdzenie Mazura]] mówiące, że [[słaba topologia\|słaba granica]] ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy [[kombinacja wypukła\|kombinacji wypukłych]] wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w [[przestrzeń Lp\|przestrzeni <math>L^p(0,1)</math>]], 1 < ''p'' <∞ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro<ref>S. Banach, S. Saks, ''Sur la convergence forte dans les champs <math>L_p</math>'' Studia Mathematica, 2 (1930) ss. 51–57.</ref>. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na [[przestrzeń jednostajnie wypukła\|przestrzenie jednostajnie wypukłe]]<ref>S. Kakutani, ''Weak convergence in uniformly convex spaces'' Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) ss. 165–167.</ref>. [[Wiesław Szlenk]] wprowadził pojęcie ''słabej własności Banacha-Saksa'', zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem [[słaba topologia\|słabo zbieżnym]] do zera oraz udowodnił, że przestrzeń <math>L^1(0,1)</math> ma tę własność<ref>W. Schlenk, ''Sur les suites faiblement convergents dans l'espace <math>L</math>'' Studia Mathematica, 25 (1969) ss. 337–341.</ref>. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych. == Twierdzenia i przykłady ==

Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami