Macierz transponowana: Różnice pomiędzy wersjami

Powyższe własności wynikają z faktu, iż każdą macierz <math>\scriptstyle \mathbf A</math> typu <math>\scriptstyle m \times n</math> można traktować jako [[macierz przekształcenia liniowego]] <math>\scriptstyle \mathrm A</math> między dwoma [[przestrzeń liniowa|przestrzeniami liniowymi]] z ustalonymi [[baza (przestrzeń liniowa)|bazami]] o wymiarach odpowiednio <math>\scriptstyle n, m</math> nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>\scriptstyle K,</math> tj. macierz [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] między ''przestrzeniami współrzędnych'' <math>\scriptstyle K^n \to K^m,</math> a z każdym takim przekształceniem można związać przekształcenie liniowe <math>\scriptstyle \mathrm A^\star\colon \left(K^m\right)^\star \to \left(K^n\right)^\star</math> nazywane ''przekształceniem dualnym'', ''sprzężonym'' lub ''transponowanym'' do <math>\scriptstyle \mathrm A,</math> które w przypadku skończeniewymiarowym można w naturalny sposób utożsamiać z przekształceniem <math>\scriptstyle \mathrm A'\colon K^m \to K^n.</math> W ogólności przestrzenie liniowe nad ciałami można zastąpić [[moduł (matematyka)|modułami]] nad [[pierścień (matematyka)|pierścieniami]] (każda przestrzeń liniowa jest modułem), które nie muszą jednak mieć [[baza przestrzeni liniowej|bazy]] (być [[moduł wolny|modułami wolnymi]]), czy być skończonego „wymiaru” (tj. ''rangi'', tzn. być [[moduł skończenie generowany|modułami skończenie generowanymi]]).

Przykładowo jeśli <math>\scriptstyle \mathbf X, \mathbf Y</math> są wektorami kolumnowymi, a <math>\scriptstyle \mathbf X^\mathrm T, \mathbf Y^\mathrm T</math> są odpowiadającymi im wektorami wierszowymi (odpowiadają one odpowiednio wektorom i kowektorom, tj. [[forma liniowa|formom liniowym]], na przestrzeni macierzy), podczas gdy standardowy [[iloczyn skalarny]] <math>\scriptstyle \cdot</math> na przestrzeni macierzy realizuje parowanie między wektorami a kowektorami (zob. [[przestrzeń współrzędnych#Dualność|dualność w przestrzeniach współrzędnych]]), to własność charakteryzująca przekształcenie dualne wyrażona w języku macierzy ma postać: