Grupa ilorazowa: Różnice pomiędzy wersjami

Podgrupom <math>\scriptstyle A, B \in \mathrm{Sub}_N(G)</math> odpowiadają zatem <math>\scriptstyle A^\ast, B^\ast \in \mathrm{Sub}(G^\ast).</math> Warunek <math>\scriptstyle A \subseteq B</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle A^\ast \subseteq B^\ast;</math> ma też przy tym miejsce równość [[warstwa (teoria grup)|indeksów]] <math>\scriptstyle [B : A] = [B^\ast : A^\ast].</math> Ponadto <math>\scriptstyle (A \cap B)^\ast = A^\ast \cap B^\ast</math> oraz <math>\scriptstyle (ABA \Cup B)^\ast = A^\ast \Cup B^\ast,</math> gdzie <math>\scriptstyle ABA \Cup B</math> oznacza grupę [[zbiór generatorów grupy|grupę generowaną]] przez <math>\scriptstyle A \cup B.</math><ref>Jeżeli <math>\scriptstyle A, B</math> są [[podgrupa normalna|normalne]], a nawet tylko [[podgrupa permutowalna|permutowalne]], to <math>\scriptstyle A \Cup B</math> jest w istocie ich [[iloczyn kompleksowy|iloczynem kompleksowym]] <math>\scriptstyle AB;</math> oba powyższe warunki są spełnione, gdy <math>\scriptstyle G</math> jest [[grupa przemienna|przemienna]].</ref>. Wreszcie <math>\scriptstyle A \in \mathrm{NSub}_N(G)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle A^\ast \in \mathrm{NSub}(G^\ast);</math> wówczas <math>\scriptstyle B/A</math> jest izomorficzna z <math>\scriptstyle B^\ast / A^\ast,</math> co jest treścią trzeciego [[twierdzenie o izomorfizmie|twierdzenia o izomorfizmie]].