Proces stochastyczny: Różnice pomiędzy wersjami

{{Dopracować|źródła=2012-07 }}

'''Proces stochastyczny''' - rodzina [[zmienna losowa|zmiennych losowych]] określonych na pewnej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] o wartościach w pewnej [[Przestrzeń mierzalna|przestrzeni mierzalnej]]. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest [[Liczby naturalne|zbiór liczb naturalnych]] (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego '''wartości są zdarzeniami losowymi''', z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z [[rozkład gęstości prawdopodobieństwa|rozkładem gęstości prawdopodobieństwa]]).

W praktyce [[Funkcja|dziedziną]], na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest [[szereg czasowy|szeregiem czasowym]]) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest [[pole losowe|polem losowym]]). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje [[giełda|giełdowe]], sygnały, takie jak [[Mowa (dźwiękjęzykoznawstwo)|mowa]], [[dźwięk]] i [[Magnetowid|wideo]], dane medyczne takie jak [[Elektrokardiografia|EKG]] i [[Elektroencefalografia|EEG]], [[Ciśnienie tętnicze|ciśnienie krwi]] i [[temperatura]] ciała, losowe ruchy takie jak [[ruchy Browna]]. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

* [[proces homogeniczny|procesy homogeniczne]]: proces, gdzie dziedzina posiada pewną [[symetriaSymetria (przekształcenie)|symetrię]] i skończenie-wymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa także mają tę symetrię. Specjalny przypadek obejmuje [[proces stacjonarny]].

W [[przestrzeń probabilistyczna|aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa]] środkami [[teoria miary|teorii miary]], podstawowym zadaniem jest konstrukcja [[przestrzeń mierzalna|sigma-algebry zbiorów mierzalnych]] w przestrzeni wszystkich funkcji i zbudowanie na niej skończonej [[miara (matematyka)|miary]]. W tym celu tradycyjnie używa się metody zwanej rozszerzeniem Kołmogorowa.

Rozszerzenie Kołmogorowa przebiega według następującego schematu: zakładając, że [[MiaraPrzestrzeń unormowanaprobabilistyczna|miara prawdopodobieństwa]] na przestrzeni wszystkich funkcji ''f'' : ''X'' → ''Y'' istnieje, może być ona użyta do zdefiniowania rozkładu prawdopodobieństwa dla skończenie-wymiarowych zmiennych losowych [''f''(''x''₁),...,''f''(''x_n'')]. Teraz, z tego ''n''-wymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa możemy uzyskać ''(n-1)''-wymiarowe [[rozkład brzegowy]] dla [''f''(''x''₁),...,''f''(''x''_''n''-1)]. Istnieje oczywisty warunek zastosowania metody, mianowicie taki, że ten rozkład brzegowy musi być taki sam jak ten uzyskany z w pełni rozwiniętego procesu stochastycznego. Kiedy wyrazimy ten warunek w kategoriach [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|gęstości rozkładów]], rezultatem będzie [[równanie Chapmana-Kołmogorowa|równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego]].