Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m -Medal |
m Poprawa fragmentów artykułu na zgodne z regułami języka polskiego |
||
Linia 9:
'''Obrazowo:''' Na powierzchni Ziemi maksimum globalne [[wysokość bezwzględna|wysokości nad poziomem morza]] występuje na szczycie [[Mount Everest]]u, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkach<ref>Ekstremum może nie być właściwe, nawet jeśli funkcja nie posiada odcinka stałego. Wystarczy, że w okolicach rozważanego ekstremum występuje nieskończona liczba ekstremów o tej samej wartości funkcji, tak że w każdym otoczeniu jest przynajmniej jedno. Zobacz sekcja [[#Proste przykłady ekstremów]]</ref>), nie będzie to maksimum lokalne właściwe.
Istnieją funkcje
Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w [[technika|technice]] i [[statystyka|statystyce]]. Wiele zagadnień [[optymalizacja|optymalizacyjnych]] sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia.
Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie tak w języku ekstremów, jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny.
== Funkcje, dla których można rozważać ekstrema ==
Linia 21:
Pojęcie ekstremum wymaga, by wartości funkcji dało się ze sobą porównywać – w [[Funkcja|przeciwdziedzinie]] funkcji powinien być zatem zdefiniowany jakiś [[Częściowy porządek|porządek]]. Zbiór uporządkowany, i to [[porządek liniowy|liniowo]], tworzą np. [[liczby rzeczywiste]]. Nie ma natomiast powszechnie przyjętego uporządkowania kolorów, zwłaszcza porządku liniowego.
W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie pojęcia "lokalności". Dokonuje się to przez określenie dla każdego argumentu funkcji, które punkty z jej dziedziny są mu "bliskie". Formalizując to podejście, określamy w każdym punkcie dziedziny funkcji tak zwaną [[baza otoczeń|bazę otoczeń]] punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. [[Przedział (matematyka)|przedział otwarty]], zawierający tę liczbę. Ogólnie, zbiór z systemem otoczeń, spełniającym pewne [[Przestrzeń topologiczna#Określenie systemu otoczeń|naturalne warunki]] tworzy tzw. [[przestrzeń topologiczna|przestrzeń topologiczną]].
O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w [[liczby rzeczywiste|liczbach rzeczywistych]], których dziedzina jest podzbiorem skończeniewymiarowej [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]].
Linia 69:
gdzie NWD oznacza [[największy wspólny dzielnik]].
Dla dowolnego wymiernego <math>x</math> istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji <math>f</math><ref>
Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli <math>\tfrac{p}{q}</math> jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek <math>\tfrac{a}{b}\neq \tfrac{p}{q}</math> różniący się od <math>\tfrac{p}{q}</math> o mniej niż <math>\tfrac{1}{q^2},</math> ma mianownik większy od ''q''. Nierówność
: <math>\scriptstyle{\left|\frac{p}{q}-\frac{a}{b}\right|< \frac{1}{q^2}}</math>
| |||