Miara Lebesgue’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Motywacja: Poprawiono literówkę Znaczniki: Z urządzenia mobilnego Z aplikacji mobilnej |
Andrzei111 (dyskusja | edycje) |
||
Linia 27:
O zbiorze <math>A</math> mówi się, że jest '''mierzalny w sensie Lebesgue’a''', jeżeli jest on [[miara zewnętrzna#Twierdzenie Carathéodory'ego|mierzalny w sensie Carathéodory’ego]] (spełnia ''warunek Carathéodory’ego'') względem <math>\lambda^*,</math>, tzn. dla każdego zbioru <math>S\subseteq \mathbb R^d</math> zachodzi
: <math>\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*\bigl(S \cap (\mathbb R^d \setminus A)\bigr).</math>
Z [[
; Konstrukcja Lebesgue’a
Linia 83:
[[Robert M. Solovay]]<ref>[[Robert M. Solovay]]: ''Real-valued measurable cardinals''. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.</ref> udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne [[pojęcie forsingu]] <math>\mathbb P</math> [[forsing|forsuje]] pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn. istnienie odpowiedniej miary). Ponadto wykazał on że jeżeli teoria mnogości ZF jest [[niesprzeczność|niesprzeczna]], to ma ona [[struktura matematyczna|model]], w którym wszystkie podzbiory prostej są ''mierzalne w sensie Lebesgue’a''<ref name=Solovay>[[Robert M. Solovay|Solovay, Robert M.]] ''[http://www.jstor.org/stable/1970696 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable]''. „Annals of Mathematics” 92 (1970) s. 1-56.</ref>.
Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W [[1962]] polscy matematycy [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], [[Hugo Steinhaus]]: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1-3.</ref> zaproponowali badania [[Aksjomat determinacji|aksjomatu determinacji]] (AD). Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], Stanisław Świerczkowski: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm54/fm5417.pdf On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]”. 54 (1964), s. 67-71.</ref> wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a.
Jeśli istnieje [[liczba nieosiągalna]], to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie [[zbiór rzutowy|rzutowe podzbiory]] prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a.<ref name=Solovay /> [[Saharon Shelah]]<ref>[[Saharon Shelah]]: ''Can you take Solovay’s inaccessible away?'' „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1-47.</ref> wykazał, że założenie istnienia liczby nieosiągalnej jest konieczne: mierzalność wszystkich zbiorów klasy <math>\Sigma^1_3</math> implikuje, że <math>\omega_1</math> jest liczbą nieosiągalną w [[Uniwersum konstruowalne|uniwersum zbiorów konstruowalnych]] ([[Kurt Gödel|Kurta Gödla]]).
| |||