Twierdzenia Mertensa

Twierdzenia Mertensa - twierdzenia dotyczące gęstości liczb pierwszych udowodnione w 1874 przez Franciszka Mertensa.

Sformułowanie

We współczesnej notacji wykorzystującej symbol Landaua twierdzenia Mertensa mogą być zapisane w postaci:

• $\sum _{p\leq x}{\frac {\log {p}}{p}}=\log {x}+O(1)$.
• $\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log {\log {x}}+M+O({\frac {1}{\log {x}}})$,

gdzie $M$ jest stałą Meissela-Mertensa.

• $\lim _{x\rightarrow \infty }\log {x}\prod _{p\leq x}(1-{\frac {1}{p}})=e^{-\gamma }$,

gdzie $\gamma$ jest stałą Eulera-Mascheroniego.

Zmiany znaku

Guy Robin udowodnił w 1983, że funkcje $\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}-\log {\log {x}}-M$ oraz $\log {x}\prod _{p\leq x}(1-{\frac {1}{p}})-e^{-\gamma }$ (związane z drugim i trzecim twierdzeniem Mertensa) zmieniają znak nieskończenie wiele razy.

Bibliografia

• F. Mertens Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, J. reine angew. Math. 78 (1874), 46-62.
• G. Robin Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseur. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics 38 (1983): 233–244.