Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 7 bajtów ,  5 lat temu
WP:SK, drobne techniczne
(Artykuł ten został zgłoszony do umieszczenia na stronie głównej w rubryce „Czy wiesz” za pomocą gadżetu CzyWiesz)
(WP:SK, drobne techniczne)
{{Czy wiesz do artykułu|1}}
'''Rozmaitość liniowa''' – [[zbiór]] [[punkt (geometria)|punktpunktów]]ów przestrzeni <math>\mathfrak{U}</math> oznaczany symbolem <math>M_0+\mathbb{W}</math>, zdefiniowany następująco:
: <math>M_0+\mathbb{W}:=\{ M_0 + w : w\in\mathbb{W} \}</math>,
gdzie <math>\mathfrak{U}</math> jest [[przestrzeń afiniczna|przestrzenią afiniczną]] rozpiętą nad [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]] <math>\mathbb{V}</math>, punkt <math>M_0</math> należy do tej przestrzeni, a <math>\mathbb{W}</math> jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią przestrzeni wektorowej]] <math>\mathbb{V}</math><ref name=definicja>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Definicja 12.8'''</ref>.
 
Przykłady rozmaitości liniowych:
* ''[[przestrzeń afiniczna]]'':
: Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzenią kierunkową jest przestrzeń wektorowa nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym jest dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Przykład 1)'''</ref>;
* ''rozmaitość zerowymiarowa'':
: Jeśli <math>M_0\in\mathfrak{U}</math>, to rozmaitość <math>M_0+\{0\}=\{M_0\}</math>. Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.227, Przykład 2)'''</ref>
[[Plik:Af.png|thumb|Proste równoległe]]
* ''proste [[równoległość|równoległe]]'':
: Niech <math>\mathfrak{U}</math> będzie [[układ współrzędnych kartezjańskich|płaszczyzną kartezjańską]]. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną <math>\mathfrak{U}</math> rozpiętą nad <math>\mathbb{R}^2</math>. Niech <math>\mathbb{W}</math> będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej <math>\mathbb{R}^2</math>. Niech <math>M_0</math> będzie punktem płaszczyzny <math>\mathfrak{U}</math>. Wtedy <math>M_0+\mathbb{W}</math> to prosta równoległa do prostej <math>0+\mathbb{W}</math>, gdzie <math>0</math> to początek układu współrzędnych<ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Przykład 3)'''</ref> (patrz: rysunek obok).
 
== Rozmaitości liniowe, a przestrzenie afiniczne ==
=== Dowód twierdzenia ===
Jeśli <math>M\in M_0+\mathbb{W}</math>, to <math>M+\mathbb{W}=M_0+\mathbb{W}</math>. Stąd:
: <math>\forall_{\mathfrak{v}\in\mathbb{W}}\forall_{M\in M_0+\mathbb{W}} M+\mathfrak{v}\in M_0+\mathbb{W}</math>.
Rozważmy funkcję <math>\mathfrak{f}\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math>, taką że:
: <math>\mathfrak{f}\colon (N,x)\mapsto N+x</math>.
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
: <math>\mathfrak{f}\colon (M_0+\mathbb{W})\times\mathbb{W}\to M_0+\mathbb{W}</math><ref name=proof>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.228, Twierdzenie 12.9 - Dowód'''</ref>.
 
Niepusty zbiór <math>\mathfrak{U}</math> nazywany jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią wektorową <math>\mathbb{V}</math>, jeśli określona jest funkcja <math>f\colon\mathfrak{U}\times\mathbb{V}\to\mathfrak{U}</math>, która <math>\forall_{m\in\mathfrak{U}}\forall_{v\in\mathbb{V}} f(M,v)\in\mathfrak{U}</math>. Element ten oznaczmy <math>M\circledast v</math>. Musi on spełnić następujące warunki: