Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m MalarzBOT: {{Seealso}} jest redirectem {{Zobacz też}} |
Emptywords (dyskusja | edycje) m WP:SK, lit. |
||
Linia 7:
== Definicja ==
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią liniową nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]]<ref>
* niezdegenerowania,
*: <math>\|x\| = 0 \Rightarrow x = 0;</math>
Linia 23:
== Przykłady ==
{{Zobacz też|przestrzeń Banacha|przestrzeń Hilberta}}
[[Plik:Vector norms.png|thumb
W [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeniach współrzędnych]] <math>X = \mathbb R^n</math> lub <math>X = \mathbb C^n</math> można wprowadzić wiele norm; niech <math>\mathbf x = (x_1, \dots, x_n) \in X.</math> Funkcje postaci
: <math>\|\mathbf x\|_p = \bigl(|x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p\bigr)^{1/p}</math>
Linia 64:
{{osobny artykuł|przestrzeń topologiczna|przestrzeń liniowo-topologiczna}}
Topologia wyznaczona przez normę przestrzeni jest ''liniowa'' w tym sensie, że przestrzeń liniowa <math>X</math> wraz z tą topologią tworzy ''przestrzeń liniowo-topologiczną'' (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są [[funkcja ciągła|ciągłe]] w sensie [[topologia produktowa|topologii produktowych]], odpowiednio w ''X'' × ''X'' i ''K'' × ''X''), która jest ponadto [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukła]]L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z [[zbiór wypukły|absolutnie wypukłych]] [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]] jest rodzina
: <math>\mathcal B_0 = \Big\{\overline B\left(0, \tfrac{1}{n}\right)\colon n = 1, 2, \dots\Big\}</math>
[[kula|kul domkniętych]] o środku w [[wektor zerowy|zerze]] i promieniu <math>\tfrac{1}{n}.</math>
Linia 82:
: <math>\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right).</math>
=== Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów ===
{{osobny artykuł|norma operatora|przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)}}
{{Zobacz też|przestrzeń refleksywna}}
Linia 90:
Każdą przestrzeń unormowaną ''X'' można [[izometria|izometrycznie]] zanurzyć w [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)#Drugie przestrzenie sprzężone|drugą przestrzeń sprzężoną]] <math>X^{**}</math>, poprzez odwzorowanie
: <math>\kappa\colon X\to X^{**}</math>
dane wzorem
: <math>\kappa(x)x^*=x^* x,\, x^*\in X^*</math>.
Z [[twierdzenie Goldstine'a|twierdzenia Goldstine'a]] wynika, że obraz przestrzeni ''X'' poprzez odwzorowanie <math>\kappa</math> jest gęstym podzbiorem <math>X^{**}</math> w sensie [[słaba topologia|<math>X^*</math>-topologii]]. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią [[przestrzeń refleksywna|przestrzenie refleksywne]], tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie <math>\kappa</math> jest [[suriekcja|suriekcją]]. Przestrzeń <math>X^{**}</math> jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy ''X'' ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.
| |||