Wikipedia

Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
→‎Dowód topologiczny: Uogólnienie dowodu tak by mógł być stosowany również dla przestrzeni wielowymiarowych. Poprzedni dowód bazował na względnym pojęciu zbioru otwartego i można go kwestionować.
Uproszczenie i lepsze zlinkowanie
Linia 52:
 
=== Dowód topologiczny ===
Niech <math>f(a)<d<f(b)</math>. Załóżmy ,że <math>d</math> nie jest wartością funkcji <math>f</math>,której [[Funkcja#Poj.C4.99cia_i_notacja|przeciwdziedzina]] to [[Liczby_rzeczywiste|zbiór liczb rzeczywistych]]. Wówczas [[Obraz_i_przeciwobraz|przeciwobraz]] zbioru <math>\mathbb R - \{d\}</math> powinien być równy [[Funkcja#Poj.C4.99cia_i_notacja|dziedzinie]] (którą tutaj jest akurat [[Przedział_(matematyka)|przedział]] [a,b]), jednak ponieważ zachodzi [[Funkcja ciągła#Przestrzenie topologiczne|ciągłość funkcji]] będzie on sumą przeciwobrazów dwóch rozłącznych, niepustych [[Zbiór_otwarty|zbiorów otwartych]] a zatem stworzy [[Przestrze%C5%84_sp%C3%B3jna#Definicja_formalna|przestrzeń niespójną]],co wyklucza się z faktem spójności dziedziny funkcji chociażby przez wzgląd na jej [[Przestrzeń_spójna#Sp.C3.B3jno.C5.9B.C4.87_drogowa_i_.C5.82ukowa|spójność drogową]]. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się,że <math>d</math> nie może nie być wartością funkcji.
Niech <math>f(a)<d<f(b)</math>. Niech ''B'' będzie zbiorem wartości funkcji ''f'', tj.
: <math>B=\{f(x)\colon\, x \in [a,b]\}</math>
i niech
:<math>d\notin B</math>
ponadto zdefiniujmy dla [[Przestrzeń_metryczna|przestrzeni metrycznych]] [[Operator_(logika)|operator]] <math>D(.)</math> , który daje w wyniku liczbę 1 tylko w przypadku gdy argumentem jest [[Zbiór_domknięty|zbiór domknięty]] w przeciwnym razie zwracana jest liczba 0.
Przez wzgląd na [[Funkcja ciągła#Przestrzenie topologiczne|ciągłość funkcji]] dowolny [[Obraz_i_przeciwobraz|przeciwobraz]] [[Podzbiór|podzbioru]] domkniętego [[Funkcja#Poj.C4.99cia_i_notacja|przeciwdziedziny]] będzie zbiorem domkniętym. Wobec czego jeśli:
:<math>A = [f(a),f(b)] , A_{1d} = [f(a),d] , A_1 = [f(a),d) ,A_2 = [d,f(b)]</math>
to:
:<math>D(f^{-1}[A])=D(f^{-1}[A_{1d}])=D(f^{-1}[A_2])=1</math>
Uwzględniając,że <math>f^{-1}[A_2] \subseteq f^{-1}[A]</math> dostajemy:
:<math>D(f^{-1}[A_1])=D(f^{-1}[A-A_2])=D(f^{-1}[A]-f^{-1}[A_2])=0</math>
Zatem:
:<math>d\notin B \Rightarrow f^{-1}[A_{1d}] = f^{-1}[A_1] \Rightarrow (D(f^{-1}[A_{1d}])=0) \and (D(f^{-1}[A_{1d}])=1)</math>
Wobec czego nie jest prawdą ,że <math>d\notin B </math>.
 
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Darboux”