Wikipedia

Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
→‎Dowód topologiczny: Skoro są osoby zgłaszające luki w klarowności to poprawiam acz szczerze mówiąc to trochę żal zabawy intelektualnej
→‎Dowód analityczny: Uzupełnienie definicji kuli o zbiór którego dotyczy
Linia 18:
: <math>A^c=\{x\in[a,b]\colon f(x)> d \}=f^{-1}[(d,+\infty)]\neq \varnothing</math>
: <math>s=\sup A</math>
: <math>BB_T(x_0p_0;r) = \{ xp \in [a,b]T : |xp-x_0p_0| < r \}</math>
Wykażemy, że
: <math>f(s)= d</math>.
 
Wobec [[Funkcja_ciągła#Przestrzenie_metryczne_i_unormowane|ciągłości funkcji]], [[Kresy_dolny_i_górny#Zbiory_liczbowe|właściwości supremum]] oraz [[Zbiory_rozłączne|rozłączności]] zbiorów <math>A</math> i <math>A^c</math> będzie zachodzić:
:<math>f(s)<d \Rightarrow \exists_{\delta > 0}\; BB_{[a,b]}(s;\delta)\subset f^{-1}[BB_{\mathbb{R}}(f(s);d-f(s))] \subset A\Rightarrow \sup A \geqslant s+\delta\Rightarrow \sup A \neq s</math>
:<math>f(s)>d \Rightarrow \exists_{\delta > 0}\; BB_{[a,b]}(s;\delta)\subset f^{-1}[BB_{\mathbb{R}}(f(s);f(s)-d)] \subset A^c \Rightarrow \sup A \leqslant s-\delta\Rightarrow \sup A \neq s</math>
Zatem [[Dowód_nie_wprost|poprzez sprzeczność]] dowodzi się,że nie jest możliwym aby <math>f(s)\neq d</math>.
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Darboux”